Introduzione Filtri - Ingegneria elettrica ed elettronica

Filtri analogici
1915 Primi filtri elettrici per ripetitori
Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissione
dei segnali
Un filtro è un calcolatore analogico
•
componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed
all’invecchiamento
ll’i
hi
t
•
tecnologia semplice
•
realizzazione poco costosa
•
dispositivo affidabile
E' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro.
Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per
•separare
•far passare
•o sopprimere
un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo stesso canale di
trasmissione.
Altera l’ampiezza e/o la fase di un segnale rispetto alla frequenza
(modifica le ampiezze delle varie componenti e/o le loro relazioni di
fase).
Idealmente non aggiunge nuove frequenze al segnale in ingresso nè
modifica le componenti in frequenza del segnale.
Ha un guadagno che dipende dalla frequenza del segnale.
segnale
Esempio
indesiderato
Esempi
™Eliminare
™Eli
i
ciò
iò che
h contamina
t i il segnale
l ((rumore neii sistemi
i t i di
comunicazione)
™S
™Separare
componenti
ti in
i ffrequenza rilevanti
il
ti d
da quelle
ll iirrilevanti
il
ti
™Demodulare segnali
™Limitare i segnali in banda prima del campionamento
g
campionati
p
in continui
™Convertire i segnali
™Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti)
™Sintesi del parlato
™Equalizzazione
™Su larga scala televisione e radio
™Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei
telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer.
•Quasi tutte le apparecchiature elettroniche utilizzano dei filtri
per scopi diversi.
diversi
•Nelle
Nelle radiocomunicazioni i filtri passa banda nei ricevitori
migliorano la ricezione limitando l'amplificazione ai soli
segnali desiderati.
La larghezza di banda dei filtri adoperati nei sistemi di
comunicazione varia, secondo le applicazioni, da meno di 1
Hz a molti MHz.
MHz
•Il filtro passa basso, applicato all'uscita dei raddrizzatori di
alimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componenti
alternate della componente continua.
•L'azione selettiva dei filtri viene anche ampiamente utilizzata
per suddividere l'uscita degli amplificatori audio in più bande
rivolte a sistemi di altoparlanti differenziati in frequenza di
risposta.
risposta
Filtro ADSL: una volta inserito sulle prese dove si utilizza un telefono, tale filtro
provvederà a escludere tutte le frequenze audio superiori ai 25 KHz, eliminando
cosi' il leggero rrumore
more di fondo do
dovuto
to al collegamento dati ssulle
lle freq
frequenze
en e
superiori.
Tecnicamente il filtro ADSL e'
e un circuito RC passivo
passivo, in cui i valori dei componenti
elettronici sono calcolati in base alle frequenze audio che occorre lasciar passare e
quelle che invece occorre filtrare.
Si monta semplicemente tra la presa telefonica e il telefono
telefono.
Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori)
•problemi di costi e ingombri
•minore sensibilità rispetto ai filtri attivi
•larghezza di banda fino a 500kHz
•Guadagno minore di uno
In genere i vantaggi nell’utilizzo dei filtri attivi superano gli
svantaggi in applicazioni relative alla trasmissione di voci
e dati. Per questo sono utilizzati in quasi tutti i sistemi
elettronici sofisticati di comunicazione ed elaborazione
dei segnali
Poiché XL=ωL, valori elevati di reattanza richiedono alle basse
frequenze valori elevati di induttanza.
Ex. L=1mH
1
f=1 MHz Æ XL=6.28 kΩ
f=100 Hz Æ XL=0.628 Ω
Elevato numero di spire della bobina Æ aumento della
R, della dimensione e del costo dell’induttore
Materiali ferromagnetici con elevata μ
Gli induttori sono generalmente incompatibili con la
miniaturizzazione
Filt i attivi
Filtri
tti i
Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi)
•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti
integrati)
•produzione di serie
•pesano poco e occupano poco spazio
•larghezza di banda finita (<30kHz)
•Guadagno anche maggiore di uno,
uno amplificano il segnale
filtrato
•Assenza di effetto caricante: collegamento in cascata di
più celle filtranti che grazie alla loro bassa impedenza
d’uscita non risentono dell’influenza del carico.
•Effetti
Effetti delle capacità parassite ridotte (a causa delle
dimensioni ridotte)
•Deriva (> sensibilità alle variazioni delle caratteristiche dei
componenti attivi a fronte
f
di modifiche
f
ambientali))
• Richiedono una sorgente di alimentazione
I filtri sono definiti dai loro effetti sul segnale nel dominio della
frequenza Æ descrizioni analitiche e grafiche nel dominio
della frequenza
•Curve di guadagno vs frequenza
•Curve di fase vs frequenza
•Tools matematici nel dominio della frequenza
Risposta in frequenza
Esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio della
frequenza.
E’ la trasformata di Fourier della risposta
p
all’impulso
p
h(t)
()
+
Vi(s)
+
Vu(s)
-
H (s )
-
s=jω
Vi(jω)
+
H ( jω )
-
H ( jω ) = M ( jω ) e
jφ ( jω )
Funzione di trasferimento
s=jω
+
Vu(jω)
-
Risposta in frequenza
⎧M ( jω ) Risposta in ampiezza/Guadagno
⎨
⎩φ ( jω ) Risposta in fase
M(jω)=|H (jω)|
M(jω)
(j )
M(jω)
K
K
ωc
ω
passa-basso
ω
ωc
passa-alto
M(j )
M(jω)
M(jω)
(j )
M(jω)
K
K
ω1 ω2
passa-banda
ω
ω1
ω2
K
ω
elimina-banda
li i b d (notch)
( t h)
ω
passa tutto
passa-tutto
⎧⎪1 per ω ≤ ωC
Il filtro passa basso ideale ha H (j ω) = ⎨
.
⎪⎩0 altrove
La corrispondente risposta impulsiva è
1
h(t) =
2π
ωC
∫e
−ωC
jω t
( )
1
dω =
e jωt
2πjt
ωC
−ωC
sen(ωC t)
=
≠ 0 per t < 0
πt
Il filtro ideale è quindi NON CAUSALE
La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso
h (t )
Ordine di un filtro
L ordine di un filtro
L’ordine
•è la più alta potenza della variabile s nella H(s).
•è
è pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuito
(un capacitore ottenuto combinando 2 o più capacitori è
ancora un capacitore/ possono esistere casi patologici).
Maggiore è l’ordine del flitro
•più è costoso perchè usa più componenti ed è più difficile da
costruire.
•più
pùèe
efficace
cace nel
e d
discriminare
sc
a e ttra
a seg
segnali
a ad
diverse
e se frequenze
eque e
Tanto più alto è l’ordine del filtro reale, tanto più si avvicina al filtro ideale
Performance nel rapporto di frequenze
Ad esempio, spesso si vuole
•sapere quanta attenuazione si ha a 2ωc e a 0.5 ωc.
avere le curve di risposta in ampiezza e fase che coprano un ampio
•avere
range di frequenze (difficile con scala delle f lineare)
Scala in frequenza logaritmica
f i
fornisce
peso uguale
l a ugualili
rapporti di frequenze.
db/ottavaÆfattore 2 nelle f
db/decadeÆ fattore 10 nelle f
Scala delle ampiezze in db
P i hè anche
Poichè
h il range delle
d ll
ampiezze può essere molto
grande la scala delle
grande,
ampiezze è usualmente
espressa
p
in db
(20log|H(jω)|).
La forma delle curve di risposta dipende dalle rete che le realizza
Scale lineari
PiccoÆfrequenza
di risonanza/centrale
frequenze
di metà potenza
Scala di frequenza logaritmica e scala delle ampiezze in db
Notare la simmetria
s
H (s) = 2
s + s +1
Ordine
1° ordine
2° ordine
44° ordine
8° ordine
Pendenze (slope)
6 dB/ottava
20 dB/decade
12 db/ottava
40 dB/decade
24 dB/ottava
80 dB/decade
48 dB/ottava
160 dB/decade
Ottava
Un'ottava è l'intervallo
di frequenze in cui la
frequenza più elevata
è doppia della minore.
Decade
La decade è
ll'intervallo
intervallo di frequenze
in cui la frequenza più
elevata è dieci volte la
minore.
Matematica dei filtri
Filtri di ordine elevato difficili da descrivere-Æoccorre un
modello matematico generale
g
•usa termini standard per descrivere le caratteristiche del filtro
•semplifica l’applicazione dei computers ai problemi di
progetto dei filtri.
filtri
H(s)=N(s)/D(s)
Funzione di trasferimento
Per una rete di di ordine n (n capacitori e induttori)
H (s) = k
bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0
an s n + a n −1s n −1 + ... + a1s + a0
1
I valori dei coefficienti determinano le caratteristiche del filtro.
Esempio: filtro passa banda del II ordine
n = 2, m = 1
Q=f(a1)
s
H (s) = 2
s + s +1
zeri
k
2
pm)
poli
Zeri e poli sono reali o complessi coniugati
Esempio: filtro passa banda del II ordine
Diagramma poli-zeri
Rete stabile ÅÆ poli con parte reale negativa
P li iimmaginariÆ
Poli
i iÆ risposta
i
t sinusoidale
i
id l non smorzata
t
Poli reali negativi Æ risposta esponenziale smorzata
Poli cc con parte reale negativa Æ risposta sinusoidale
smorzata
k
Filtri attivi o a
3 capacità commutate
Coppia di poli cc
H è il prodotto di funzioni di trasferimento del II ordine (anche del I)Æ
Filtro composto da blocchi elementari connessi in cascata
= H1 · H2
LP=Low Pass
H1 e H2, filtri del II ordine
HLP filtro del IV ordine
ordine,
cascata di H1 e H2
kk
k
4
I parametri dipendono da
quantità osservabili
Sovraelongazione
vicino alla f di
risonanza
k
k è un fattore di scala del guadagno
ω0 è un fattore di scala della frequenza
Nella risposta in ampiezza, k e ω0 alterano
l’ampiezza o la scala delle frequenze ma non
la forma.
forma
La forma dipende da Q che è determinato
da D(s)
k’
k
(log)
Filtri passa basso
Segnale rumoroso
S
Segnale
l filt
filtrato
t
Passa Basso
(PA)
ripple
(variazione
del guadagno)
g
g )
•curve monotone
•curve con sovraelongazione
•curve con ripple
i l
Filtri passa basso
•La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine
ω0
H (s) = k
s + ω0
ω0
H ( jω ) = k
jω + ω 0
ω0
k guadagno (in continua)
⎧
⎪0 ω >> ω0
⎪⎪
kω0
≅ ⎨k ω << ω0
H (ω ) =
2
2
ω0 + ω
⎪ k
⎪
ω = ω0
⎪⎩ 2
H (0) = H max = k
H (ω0 ) =
-3db
3db
k
= 0.7 k = 0.7 H max
2
ω0 =ωt pulsazione di taglio/di roll-off/di cut off
ω0
R
v(t )
C
vc (t )
V&c
1 / ( j ωC )
1 / RC
H ( jω ) =
=
=
V& R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC
ω0 = ωt = 1 / RC
k =1
R
v(t
()
L
vR (t )
Cf
Ri
Rf
Filtro attivo
+
vi (t )
vu (t )
1
Rf
− 1
Zf
jωC f
Ri C f
1
H ( jω ) = −
=−
=
1
1
Zi
Ri R +
jω +
f
jωC f
Rf C f
ω0 = ωt =
1
non dipende
p
da Ri
Rf C f
Se sommo diversi ingressi con diverse Ri , ω0 rimane la stessa per tutti gli ingressi.
kω0 = − 1
RiC f
→ k =−
Rf
Ri
>=< 1
•La funzione di rete di un passa basso del 2° ordine
H (s) =
ω0 pulsazione naturale
k guadagno
Q fattore di merito
kω02
2
s +
ω0
Q
s + ω02
s = jω → H ( jω ) =
kω02
2
−ω +
H (ω ) =
ω0
Q
jω + ω02
⎧0 ω >> ω0
⎪⎪
kω02
≅ ⎨k ω << ω0
2
⎪
⎞
2
2 2 ⎛ ω0
⎪⎩kQ ω = ω0
ω0 − ω + ⎜⎜ ω ⎟⎟
⎝Q
⎠
(
)
k =11
1
1
f max = f 0 1 −
| H ( f max ) |= Q / 1 −
2
2Q
4Q 2
Per un certo campo di valori di Q, |H| ha un massimo nelle
vicinanze di f0:
Se Q è alto,Q >
2 2 si ha f max ≅ f 0 , | H ( f max ) |= Q.
Fra i filtri che non presentano il picco, quelli con Q = 2 2 sono
quelli
lli con d
decadenza
d
più
iù rapida
id e ftaglio=fft=ff0 (Butterworth)
(B tt
th) .
1 /( LC )
H ( jω ) =
R
− ω 2 + jω + 1 /( LC )
L
R
v(t )
L
C
vC (t
()
kω02
H ( jω ) =
2
−ω +
ω0 =
1
LC
k =1
1
Q=
R
L
C
ω0
Q
jω + ω02
H ( s) =
Calcolare ω0 , k , Q.
1
s2 + s +1
Esempio
p 2
Un convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua
partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata
Ingresso c.a.
Ingresso c.a.
Trasformatore
Uscita c.c.
=
Raddrizzatore
Filtro
Uscita c.c.
Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in
alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta.
Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da
alternata a unidirezionale.
Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua
dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe
d ll spettro
dello
tt ((armoniche)
i h )
La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è
rigorosamente continua ma possiede un certo residuo
(ripple)
Per far passare la sola componente continua si utilizza un
filtro passa-basso
Filtro LC ad ingresso induttivo
Filtri ad ingresso capacitivo
Effetto del filtro passa-basso sull'onda quadra.
T
C1
C2
C3
C1<C2<C3
Filtri passa alto
•La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine
s
H (s) = k
s + ω0
ω0 = ωt pulsazione di taglio
k guadagno
jω
H ( jω ) = k
jω + ω 0
⎧
⎪0 ω << ω0
⎪⎪
kω
H (ω ) =
≅ ⎨k ω >> ω0
2
2
ω0 + ω
⎪ k
⎪
ω = ω0
⎪⎩ 2
R
vR (t )
v(t )
C
V&R
jω
R
H ( jω ) =
=
=
V& R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC
ω0 = ωt = 1 / RC
k =1
R
v(t
()
L
vL (t )
Esempio
Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti
di tipo woofer o tweeter. Un solo altoparlante non sarebbe in grado di
riprodurre tutta la gamma delle frequenze acustiche.
Crossover a due vie
Canale di
amplificatore
stereo
Tweeter
R1
C
L
Woofer
R2
Vs
L
C
+
-
R1
+
-
T
V1
R2
+
-
V2
W
Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte
b
bassa
d ll’i t
dell’intervallo
ll delle
d ll frequenze
f
audio
di (<3 kHz),
kH ) non glili acuti.
ti
Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte
alta dell
dell’intervallo
intervallo delle frequenze audio (3-20
(3 20 kHz) non bassi e medio bassi.
bassi
Un valore tipico è R=8 Ω.
H1 (ω ) =
H 2 (ω ) =
V1
jωR1C
jω
=
=
V&s 1 + jωR1C jω + 1
P.A.
R1C
V2
R2
R2 / L
=
=
Vs R2 + jωL jω + R2
H 2 (ω )
H 1 (ω )
P.B.
L
ω0 pulsazione di taglio/di crossover
Crossover a tre vie
Midrange
Passa banda
Lo stesso principio si usa nelle TV
•30Hz - 4MHz (immagini) Æampl. video
•4.5MHz (audio) Æ ampl. audio
ω0
ω
Esempio
N l circuito
Nel
i it cross-over a due
d vie
i R1=R
R2=6Ω.
6Ω Determinare
D t
i
L e C se deve risultare f0=2.5kHz.
ω0 = 1 R C = 2π 2500 → C ≅ 10.61μF
1
R
ω0 = 2
L
= 2π 2500 → L ≅ 382 μH
Rf
Ri
Ci
Filtro attivo
+
vu (t )
vi ((t )
Zf
Rf
jω
Rf
Ri
H ( jω ) = −
=−
=−
1
1
Zi
Ri +
jω +
jω C i
Ri Ci
1
ω 0 = ωt =
Ri Ci
k=−
Rf
Ri
•Passa alto del 2° ordine
R
v(t )
L
s2
H ( s) =
v L (t )
s +
C
H ( jω ) =
H ( jω ) =
ω0
completare
2
k=
Q=
ω0
Q
s + ω02
−ω2
ω
− ω 2 + 0 jω + ω02
Q
−−−
− ω 2 + * jω + − − − −
H ( s) =
s2
s2 + s +1
Effetto del filtro p
passa-alto sull'onda q
quadra.
V0
C1
C2
C3
C1<C2<C3
Filtri passa banda
Filtri del II ordine
•Approssimazione poco costosa dei filtri ideali
•Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi
•Ordine minimo p
per realizzare p
passa e oscura banda ((notch))
s
H ( s) = k
2
s +
ω0
Q
ω0
Q
s + ω02
jω
H ( jω ) = k
ω0
Q
ω0
−ω2 + j
Q
ω
H (ω ) = k
(
ω02
−ω
ω + ω02
k guadagno
ω0 p
pulsazione di centrobanda/centrale/di
risonanza (valore di picco)
Q fattore di qualità
ω1 pulsazione di taglio inferiore/di metà potenza
ω2 pulsazione di taglio superiore
=
ω0
)
Q
2 2
⎛ω ⎞
+ ⎜⎜ 0 ω ⎟⎟
⎝Q ⎠
2
⎧0
⎪
⎪k
≅⎨
⎪0
⎪
⎩k / 2
ω >> ω0
ω = ω0
ω << ω0
ω = ω1,ω2
jω
H ( jω ) = k
ω0
Q
ω
− ω 2 + j 0 ω + ω02
Q
=
k
⎛ω
ω ⎞⎟
⎜
0
1 − jQ
−
⎜ ω ω0 ⎟
⎝
⎠
2
⎛
k
ω ⎞⎟
2 ⎜ ω0
⇒ 1+ Q
−
H ( jω ) =
=2
⎜
⎟
ω ω0
2
⎝
⎠
⎛ ω ω0 ⎞
⎟ = ±1
−
Q⎜⎜
⎟
⎝ ω0 ω ⎠
⎡
1
1 ⎤
⎥
p
prendendo,
delle 4 soluzioni, q
quelle p
positive : ω1,2 = ω0 ⎢ 1 +
±
2
2Q ⎥
⎢⎣
4Q
⎦
ω1ω 2 = ω02 → ω0 = ω1ω 2
Le pulsazioni di taglio non sono simmetrich e rispetto a ω0 .
ω1,2 ≅ ω0 ±
ω1 − ω 2 =
ω0
2Q
ω0
→ si possono considerare simmetrich e per Q >> 1
= B Ampiezza di Banda
Q
Fissato ω0 , tanto piu' elevato e' Q tanto piu' stretta e' B.
Il numero di possibili caratteristiche di risposta in banda passante
è infinito
infinito, ma hanno tutte la stessa forma di base
base.
vR (t )
R
v(t )
L
H ( jω ) =
ω0 =
C
R
1 ⎞
⎛
R + j ⎜ ωL −
⎟
ω
C
⎝
⎠
=
jω R L
− ω 2 + jω R L + 1 LC
1
LC
k =1
ω0
Q
=
ωL
R
→Q = 0
R
L
Vedi slide 17 per un altro esempio
R
R
+
C
vi (t )
C
2R
R
(A-1)R
1
RC
1
Q=
3− A
k = AQ
ω0 =
vu (t ) PBanda
I filtri passivi garantiscono una buona selettività a patto che il
fattore di merito sia elevato. Poiché:
ω0 L
Q=
Rext + Rs
Rs resistenza dell’avvolgimento
Rext tutte le altre resistenze del circuito,
circuito
Q è effettivamente elevata se le resistenze sono piccole;
Rs dipende dal numero di spire dell
dell’ avvolgimento e dalla
conducibilità del materiale usato.
Bobine
B
bi
a radiofrequenza
di f
(kHz
(
— 300 GHz)Æ
Æ L piccoloÆ
i
l Æ poche
h
spireÆ bobine con Rs piccolaÆ Q elevato, Æ nel campo delle
radiofrequenze, i filtri RLC sono molto usati
Nel campo audioÆ L elevataÆ molte spire Æ bobine ingombranti
p audio,, sono molto usati i filtri attivi.
e costose. In campo
Filtri oscura banda/notch
Spesso utilizzati per sopprimere il rumore di rete a 50Hz.
Filtri di ordine elevato
Spesso realizzati come cascata di filtri del II ordine (quando n è dispari
occorre anche uno stadio del I ordine).
V1 ( s )
H1(s)
V2 ( s )
H2(s)
V3 ( s )
Vn ( s )
Hn(s)
Vn+1 ( s )
Cascata di n stadi del II ordine
Uscita stadio i = ingresso stadio i+1
Molto spesso
p
il comportamento
p
di uno stadio cambia q
quando viene
connesso ad un altro stadio (caricamento). Il secondo stadio ‘carica’ il
primo
Zu(s)
Vi ( s )
Zi((s))
+ H ( s )V ( s )
i
-
Modello circuitale di uno stadio
adatto all’analisi del caricamento
Zu1(s)
V1 ( s )
Zi1(s) +- H 1V1
Zu2(s)
V2
Zi2(s) + H 2V2
-
Senza il 2° stadio si avrebbe V2 ' = H1V1
Invece si ha
V3 = H 2V2
V2 =
Zi2
H1V1 ≠ V2'
Z u1 + Z i 2
Il 2° stadio carica il 1°.
Ciò si può eliminare rendendo infinita la Zi2 o nulla la Zu1
V3 = H 2V2 = H 2
Zi2
H 1V1
Z u1 + Z i 2
V3
Zi2
H=
= H2
H1
V1
Z u1 + Z i 2
V3 ( s )
Se Z u1 = 0 o se Z i 2 = ∞, (se il secondo stadio NON carica il primo)
H = H 2 H1
I filtri di Sallen Ke
Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in
cascata senza caricare l’uscita.
H = ∏ Hi
i
I filtri RLC hanno Zu≠0, e Zi ≠∞
H ≠ ∏ Hi
i
Esempio
y Passa Banda – Calcolo della Zu
Sallen Key
R
R
Vi (s
( )
1
C
C 2R
2
+
3 -
V1 − Vu V1 − V2
V1
⎧V1
+
+
+
=0
⎪ R 1 / sC
C
R
1 / sC
C
⎪
⎪V2 − V1 V2
+
=0
⎨
⎪ 1 / sC 2 R
⎪V2 V2 − Vu
(V3=V2)
⎪ R + ( A − 1) R = 0
⎩
Vi =0
u
Vu (s )
R (A-1)R
Vu
Zu =
Iu
I u (s )
Vu= 0 Æ Zu= 0
Esempio
IIndividuazione
di id
i
di segnalili generati
ti da
d un telefono
t l f
i multifrequenza
in
ltif
(devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e #
usati per scopi speciali)
697 Hz
Banda
bassa
1
ABC
2
DEF
3
770 Hz
GHI
4
JKL
5
MNO
6
852 Hz
PRS
7
TUV
8
WXY
9
*
oper
0
941 Hz
1209 Hz
1336 Hz
#
1 segnale =
=1
1 coppia di toni
sinusoidali
1477 Hz
Banda alta
Come si individuano i numeri da chiamare?
Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme di
segnali
g
alla centralina dove vengono
g
decodificati.
BP Filtri passa-banda
D Rivelatore
A Amplificatore
Passa
basso
BP1
D1
697 Hz
BP2
D2
770 Hz
BP3
D3
852 Hz
BP4
D4
941 Hz
Al sistema
di switch
A
D5
1209 Hz
BP6
D6
1336 Hz
BP7
D7
1477 Hz
BP5
Passa
alto
Ogni filtro passa-banda fa passare un solo tono ed è seguito da un rivelatore D
che si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello.
livello L
L’uscita
uscita del
rivelatore fornisce il segnale in corrente continua necessario al sistema di
commutazione per connettere l’utente al numero chiamato.
Filtri passa tutto o phase-shift
•Nessun effetto sull’ampiezza del segnale alle diverse
frequenze.
•Modifica della fase
In ritardo
φ ((fase,, rad))
φ / ω (ritardo, s)
Sono tipicamente usati per introdurre phase shifts nei
g
, p
per cancellare anche p
parzialmente p
phase shifts
segnali,
dovuti ad altra circuiteria o mezzi di trasmissione.
H ( s) =
s2 − s +1
s2 + s +1
Il valore assoluto del guadagno è uguale
all'unità a tutte le frequenze, ma la fase
varia con la frequenza
frequenza.
Le funzioni di trasferimento viste finora per i filtri del II ordine condividono lo stesso
denominatore
denominatore.
2
s +
ω0
Q
s + ω02
Tutti i numeratori sono costituiti da termini trovati nel denominatore:
•il numeratore del passa-alto è il primo termine (s2) al denominatore,
•il numeratore del passa banda è il secondo termine (s),
•ilil numeratore del passa
passa-basso
basso è il terzo termine (1)
il numeratore dell’oscura banda è la somma del primo e del terzo (s2 e 1).
•Il numeratore per la funzione di trasferimento passa tutto è un po’ diverso, nel senso
che include tutti i termini del denominatore, ma uno dei termini ha un segno negativo.
.
I filtri del II ordine sono caratterizzati da 4 proprietà:
• il tipo di filtro (passa-alto,
(passa alto passa-banda,
passa banda ecc),
ecc)
• il guadagno in banda passante
• la frequenza naturale
• il fattore di merito Q utile per descrivere
la
forma della risposta in ampiezza.
ampiezza Q può essere
trovato dal denominatore della funzione di
trasferimento se il denominatore è scritto nella forma
2
s +
ω0
Q
s + ω02
Per i passa e oscura banda, all’aumentare di Q, la
risposta diviene più stretta.
I filtri passa-basso e passa-alto mostrano picchi al
crescere di Q.
Simmetria della risposta in ampiezza per scala logaritmica
delle frequenze
Le curve per il passa-banda e notch sono simmetriche rispetto
a fO: il guadagno a 2fo è pari al guadagni a fO / 2;
il guadagno a 10 fO è pari al guadagno a fO/10, e così via.
Le curve per il passa-basso e passa-alto sono simmetriche l’una
rispetto
all’altra.
all
altra.
Esse
sono
effettivamente
immagini
speculari rispetto a fO. Così, il guadagno del passa-alto a 2fo sarà
pari al guadagno del passa-basso fO/2 e così via.
Le somiglianze tra le varie curve sono molto utili per la
progettazione di filtri complessi.
Il numero di possibili curve di risposta di un filtro è
i fi it
infinito.
Le differenze tra le diverse risposte per dato un tipo di filtro (ad
esempio passa
esempio,
passa-basso)
basso) possono includere,
includere
•frequenze caratteristiche,
•ordine del filtro,
•roll-off (la pendenza con cui inizia a variare il guadagno del
filtro, appena ci si allontana dalla banda passante; dB/dec )
•piattezza
i tt
d ll banda
della
b d passante
t e delle
d ll regioni
i i fuori
f i banda.
b d
Un filtro distorce il segnale in ingresso
ingresso.
Distorsione d’ampiezza
Risposta in ampiezza non costante Æ componenti in
f
frequenza
di
diverse
d l segnale
del
l amplificate
lifi t diversamente.
di
t
Distorsione di fase
Risposta in fase non lineare Æ componenti in frequenza
diverse del segnale ritardate diversamente (modifica la
forma del segnale).
Esempio
x(t ) = X 0 cos(ω0t ) + X a cos(ω a t ) + X b cos(ωb t )
xˆ (t ) = X a cos(ω a t ) + X b cos(ωb t )
L’uscita
L
uscita accettabile è
ω0> ωb >ωa
segnale desiderato
ua (t ) = kxˆ (t − τ )
ritardo
attenuazione
ÆFiltro passa basso con risposta in frequenza
⎧k 0 < ω < ω C
M (ω ) = ⎨
⎩0 ωC < ω
φ (ω )
risposta in ampiezza fa < fb < fc< f0
risposta in fase
L’uscita del filtro è
u (t ) = kX a cos(ω a t + φ (ω a )) + kX b cos(ωb t + φ (ωb ))
Se la risposta in fase è lineare
⎧φ (ω a ) = −ω aτ
φ (ω ) = −ω ⋅τ
→⎨
⎩φ (ωb ) = −ωbτ
Infatti, in tal caso
u (t ) = kX a cos(ω a (t − τ ) ) + kX b cos(ωb (t − τ ) ) = x(t − τ )
L’importanza di avere un filtro con una fase lineare (ritardo di gruppo
costante) e un guadagno costante risiede nel fatto che permetterà di
ottenere in uscita un segnale che risulterà semplicemente una versione
scalata e ritardata dell’ingresso. Se la fase del filtro non fosse stata
lineare, ma avesse avuto una dipendenza non lineare da f, l’uscita del
filtro sarebbe stato una versione più o meno distorta dell’ingresso.