Successioni di eventi

SUCCESSIONI DI EVENTI
E. DI NARDO
1. Successioni di eventi
Definizione 1.1. Una succesione di eventi si dice crescente se risulta A1 ⊆ A2 ⊆
· · · ⊆ An ⊆ · · · . In tal caso si ha limn−→∞ An = ∪∞
i=1 An .
Definizione 1.2. Una succesione di eventi si dice decrescente se risulta A1 ⊇ A2 ⊇
· · · ⊇ An ⊇ · · · . In tal caso si ha limn−→∞ An = ∩∞
i=1 An .
Definizione 1.3. Una succesione di eventi che sia decrescente o crescente si dice
monotona.
Definizione 1.4. Per una succesione di eventi non monotona, si definisce limite
inferiore il seguente evento: lim inf An = limn−→∞ ∩∞
k=n Ak .
La successione {Bn } = ∩∞
k=n Ak è monotona crescente poiché Bn = An ∩ Bn+1 ,
pertanto ammette limite, da cui
∞
lim inf An = ∪∞
n=1 ∩k=n Ak .
Definizione 1.5. Per una succesione di eventi non monotona, si definisce limite
superiore il seguente evento: lim sup An = limn−→∞ ∪∞
k=n Ak .
La successione {Bn } = ∪∞
k=n Ak è monotona decrescente poiché Bn = An ∪Bn+1 ,
pertanto ammette limite, da cui
∞
lim sup An = ∩∞
n=1 ∪k=n Ak .
Risulta lim inf An ⊆ lim sup An . Infatti se ω ∈ lim inf An allora esiste un intero
ν ≥ 1 tale che ω ∈ Ak per k ≥ ν. Pertanto nella successione
A1 , A2 , . . . , Aν , Aν+1 , . . .
a partire dal posto ν risulta ω ∈ Ak per k ≥ ν. Ogni unione di eventi Ai in
successione contiene ω in quanto o contiene Aν o un evento successivo ad esso.
Pertanto ω ∈ ∪∞
k=n Ak per ogni n. Quando lim inf An = lim sup An si dice che la
successione ammette limite:
lim inf An = lim An = lim sup An .
n−→∞
2. Teorema di equivalenza
Teorema 2.1. Teorema di equivalenza Una misura di probabilità P che verifica
gli assiomi i) e ii) della definizione 3.3 del capitolo precedente, verifica la proprietà
di additività numerabile se e solo se verifica la proprietà di additività finita e quella
di continuità.
Ad integrazione della Lezione 2 - Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica II.
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E. DI NARDO
Per proprietà di continuità si intende la seguente proprietà: sia {An } una successione di eventi di F dotata di limite A, risulta limn−→∞ P (An ) = P (A).
Proof. La proposizione 3.3 del capitolo precedente asserisce che dalla additività
numerabile segue l’additività finita. Mostriamo ora che dalla additività numerabile
segue anche la proprietà di continuità. Supponiamo che la successione {An } sia
dotata di limite A e supponiamo che la successione sia crescente, decrescente, non
monotona.
i) decrescente
Mostriamo in primo luogo che per una successione decrescente di eventi {Bn }, il
cui limite è l’insieme vuoto, si ha limn−→∞ P (Bn ) = 0. Risulta
c
Bn = ∪∞
k=n (Bk ∩ Bk+1 ).
Difatti scelto ω ∈ Bn poiché Bn decresce a ∅, esiste un k ≥ n tale che ω ∈ Bk ma
c
ω 6∈ Bk+1 . Viceversa se ω ∈ ∪∞
k=n (Bk ∩ Bk+1 ) allora ω ∈ Bk per qualche k ≥ n e
quindi ω ∈ Bn ⊇ Bk .
Per n = 1 segue che
(2.1)
∞
X
c
c
P (B1 ) = P ∪∞
(B
∩
B
)
=
P (Bk ∩ Bk+1
)<∞
k
k=1
k+1
k=1
da cui segue che
lim P (Bn ) = lim
n−→∞
∞
X
n−→∞
c
P (Bk ∩ Bk+1
)=0
k=n
trattandosi del resto della serie (2.1) convergente.
Consideriamo ora la successione {An } decrescente ad A. Si osservi che
An = (An ∩ A) ∪ (An ∩ Ac ) = A ∪ (An ∩ Ac )
poiché An ⊃ A. Essendo Bn = An ∩ Ac una successione decrescente all’insieme
vuoto e A ∩ Bn = ∅ segue che P (An ) = P (A) + P (Bn ) da cui l’asserto essendo
limn−→∞ P (Bn ) = 0.
ii) crescente
Se la successione {An } è crescente, allora
lim An = A = ∪∞
i=1 Ai
n−→∞
da cui segue che
c
lim Acn = Ac = ∩∞
i=1 Ai ,
n−→∞
dove ora la successione {Acn } è decrescente. Applicando il risultato del punto precedente si ha limn−→∞ P (Acn ) = P (Ac ) e quindi
lim P (An ) = 1 − lim P (Acn ) = 1 − P (Ac ) = P (A).
n−→∞
n−→∞
iii) non monotona
Se la successione {An } è dotata di limite, si ha
lim inf An = lim sup An = lim An
n−→∞
ossia
∞
lim ∩∞
k=n Ak = lim ∪k=n Ak = A.
n−→∞
n−→∞
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∞
Poichè {∩∞
k=n Ak } e {∪k=n Ak } sono successioni monotone, vale la proprietà di continuità, ossia
∞
lim P (∩∞
k=n Ak ) = lim P (∪k=n Ak ) = P (A).
n−→∞
n−→∞
Poiché
∞
{∩∞
k=n Ak } ⊆ An ⊆ {∪k=n Ak },
dalla proposizione 3.5 del capitolo precente, segue che
∞
P ({∩∞
k=n Ak }) ≤ P (An ) ≤ P ({∪k=n Ak }),
da cui l’asserto passando al limite.
Dimostriamo ora l’implicazione inversa del teorema, ossia che la misura di probabilità P verifica l’ipotesi di additività numerabile nell’ipotesi verifichi la proprietà di
additività finita e di continuità. Sia {An } una successione di eventi incompatibili.
Si ha
k
∞
∪∞
n=1 An = ∪n=1 Ak ∪ ∪n=k+1 Ak
da cui, facendo uso della additività finita, segue
k
X
k
∞
P (∪∞
P (Ak ) + P ∪∞
n=1 An ) = P ∪n=1 Ak + P ∪n=k+1 Ak =
n=k+1 Ak .
n=1
La successione ∪∞
è decrescente, quindi per la proprietà di continuità si ha
n=k+1 A
k
limn−→∞ P ∪∞
A
=
0, da cui l’asserto.
n=k+1 k
Teorema 2.2.P
Lemma di Borel Cantelli Sia A1 , A2 , . . . una successione di
∞
eventi tale che k=1 P (Ak ) < ∞. Vale che
P (lim sup An ) = 0.
n→∞
Proof. Si ha
P (lim sup An ) = P
n→∞
lim ∪∞
A
= lim P (∪∞
n
k=n
k=n An )
n→∞
n→∞
dove l’ultima uguaglianza segue dalla proprietà di continuità della probabilità. Applicando la disuguaglianza di Boole segue che
∞
X
lim P (∪∞
A
)
≤
lim
P (An ) .
k=n n
n→∞
n→∞
k=n
P∞
Poiché la serie k=1 P
k ) converge per ipotesi, segue che il suo resto n−esimo va
P(A
∞
a zero, ossia limn→∞ k=n P (An ) = 0 da cui
P (lim sup An ) ≤ 0
n→∞
e l’asserto segue dalla non-negatività della misura di probabilità.