ω ω I I I rad s n giri = ⋅ + = = 23 6 225 . / / min

ITIS OMAR
Dipartimento di Meccanica
Due volani A e B sono fissati a due alberi allineati e collegati tramite una frizione. Durante
l’avviamento il momento trasmesso dalla frizione cresce, da zero, in modo lineare. Il momento di
inerzia dei due volani sono rispettivamente IA = 1.2 kgm2, IB = 2 kgm2 e inizialmente A ruota
liberamente a 600 giri/min mentre B è a riposo.
La frizione viene quindi inserita e lo slittamento cessa dopo 3 secondi.
Trovare
<
la velocità finale dei due volani a transitorio ultimato;
<
l’energia dissipata dalla frizione;
<
il numero di rivoluzioni di A necessario per completare il transitorio;
<
il momento massimo trasmesso dalla frizione.
(J. Hannah; R.C. Stephens
<
Mechanics of Machines
Arnold)
La velocità finale ω f , di sincronismo, dei due volani si trova applicando il principio di
conservazione del momento della quantità di moto (non intervengono forze esterne al sistema)
IA ⋅ω A = (IA + IB ) ⋅ω f
da cui:
ωf =
IA ⋅ω A
= 23.6 rad / s
I A + IB
n f = 225 giri / min
<
L’energia dissipata dalla frizione è data dalla differenza fra l’energia cinetica iniziale e l’energia
cinetica finale
Energia cinetica iniziale ECI
E CI
I Aω A2
=
= 2368.7 J
2
Energia cinetica finale ECF
E CF =
( I A + I B ) ⋅ ω f2
2
= 888.3 J
L’energia dissipata dalla frizione ED sarà allora pari a:
E D = ECI − ECF = 1480 J
<
Il momento trasmesso dalla frizione viene speso per accelerare il volano B che raggiunge, da
zero, la velocità finale di 225 giri/min in 3 secondi.
Il momento istantaneo trasmesso, al generico istante t, vale:
Mi =
M MAX
⋅t
3
L’espressione dell’accelerazione angolare del volano B vale:
εB =
dω
M MAX ⋅ t
=
3⋅ I B
dt
Risolvendo la precedente equazione differenziale si ottiene:
23.56
∫ dω =
0
3
∫
0
M MAX
⋅ tdt
3⋅ I B
Da cui:
M MAX =
2356
. ⋅ 12
= 31.4 Nm
9
<
Il numero di rivoluzioni di A si trova integrando l’espressione della velocità di A.
La accelerazione ( in realtà trattasi di una decelerazione) angolare di A vale:
εA =
− M i − M MAX
=
⋅ t = − 8.72 ⋅ t
IA
3⋅ I A
εA =
dω A
dt
Ma
Da cui integrando si ottiene:
ω
t
62 .8
0
∫ dω = ∫ ε
A
dt
Ovvero:
ω A = 62.8 − 4.36 ⋅ t 2
Lo spazio percorso, in radianti, è allora:
3
3
0
0
θ A = ∫ ω A dt = ∫ (62.8 − 4.36 ⋅ t 2 )dt = 149.16 rad
n A = 23.74 giri
N.B.: l’energia dissipata dalla frizione può anche calcolarsi con la seguente relazione:
3
Ed =
∫ M ω dt
i
r
0
dove con ω r si è indicata la velocità relativa dei dischi di frizione
ω A = 62.8 − 4.36 ⋅ t 2
ω B = 2.62 ⋅ t 2
ω r = 62.8 − ( 4.36 + 2.62) ⋅ t 2
da cui:
3
M MAX
∫0 3 ⋅ t ⋅ (62.8 − 6.98 ⋅ t 2 ) ⋅ dt
Ed ≅ 1480 J
Ed =