FUNZIONI TRASCENDENTI

• DEFINIZIONE
Una funzione si dice trascendente se non è
algebrica, vale a dire se contiene operazioni altre
dalle quattro operazioni fondamentali
dell’algebra. Esempi sono:
–
–
–
–
le funzioni trigonometriche
la funzione esponenziale
la funzione logaritmica
le funzioni non elementari (non esprimibili
analiticamente)
• DEFINIZIONE
n
a
Sia a ∈  e n ∈  , si dice potenza n-sima di a
e si ha:
× a
×
........ ×a se n ≥ 2
a
n volte
an = 
se n = 1
a
Si pone per definizione a 0 = 1
a n è un numero reale.
• DEFINIZIONE
Siano a, b ∈  e n ∈  , n b si dice radice n-sima
di b e risulta così definita:
a=
n
b ⇔ b= an
b ∈  + se n è pari
Si ha che 
b ∈  se n è dispari
• DEFINIZIONE
Sia a ∈  e n ∈  , si ha per definizione:
e
1
−n
con a ≠ 0
=
a
n
a
1n
a
=na
Operazione di
elevamento a
potenza con
esponente intero.
• DEFINIZIONE
p
+
a
∈

r
con p ∈  e q ∈ 
Sia
e r ∈  , si ha: =
q
Porremo per definizione
=
a a=
r
Si ha
p q
q
a
p Operazione di elevamento a
potenza con esponente razionale.
 p pari ⇒ a ∈ 

 p dispari e q dispari ⇒ a ∈ 

+
⇒
∈

dispari
e
pari
p
q
a

• TEOREMA
Dato a ∈  con a > 1 e dati r1, r2 ∈  si ha
r1 < r2 ⇒ a < a
r1
r2
(1)
viceversa se 0 < a < 1 allora
r1 < r2 ⇒ a > a
r1
r2
Abbiamo già visto che, dato un numero
irrazionale puro α , si ha:
[α ]n < α < [α ]
n
∀n ∈ 
D’altro canto le troncate sono numeri razionali,
dunque dato a ∈  con a > 1 per la (1) si ha
[α ]n < [α ]
n
⇒a
[α ]n
<a
[α ]n
∀n ∈ 
(2)
[α ]n
[α ]n
dove a e a sono entrambi numeri reali.
Poiché l’insieme dei numeri reali è completo,
dalla (2) si ha che esiste z ∈  tale che
a
[α ]n
<z<a
[α ]n
∀n ∈ 
Poniamo per definizione
α
a =z
La definizione precedente può essere estesa al
caso 0 < a < 1 .
Abbiamo dunque definito l’operazione di
elevamento a potenza con base reale ed
esponente reale.
Si dimostra facilmente che la definizione data
impone la condizione che la base deve essere un
numero reale positivo.
DEFINIZIONE
Dato a ∈  con a > 0 , definiamo esponenziale la
funzione reale di variabile reale
f (=
x) a
x
∀x ∈ 
Si verifica che il suo codominio è dato
dall’insieme dei numeri reali positivi.
Da quelle dell’operazione di elevamento a
potenza si possono facilmente ricavare le
PROPRIETÀ
della funzione esponenziale.
Altrettanto facilmente se ne ricavano i
GRAFICI
Se ne può dare una definizione generalizzata
Data l’equazione
+
=
y a con a, y ∈  e x ∈ 
x
ha senso porsi il problema di esplicitarla rispetto
alla variabile x .
Lo si fa ponendo per definizione
=
x log a y ⇔=
y a
x
Perché questa scrittura abbia senso deve essere
a ∈ + ∧ a ≠ 1 e y > 0
Così facendo abbiamo di fatto definito la
funzione (reale di variabile reale) logaritmica.
• NOTAZIONI
log ≡ log10 o log e
• PROPRIETÀ
• GRAFICI
• DEFINIZIONE GENERALIZZATA
ln ≡ log e