SP1_La quantità di moto di un punto materiale

Quantità di moto di un punto materiale
Forze impulsive
r
Negli urti, la forza di impatto F ha intensità molto alta per un breve
intervallo di tempo. Il grafico di F(t) definisce ∆t (la durata
dell’impatto) e Fo (il valore di picco della forza). Le forze che hanno
una simile dipendenza dal tempo sono dette impulsive.
Durante l’urto, le forze non impulsive, se presenti, hanno un valore
molto minore di Fo e, dunque, contano poco. Ad esempio, la forza
peso è trascurabile durante il breve intervallo ∆t, ma potrebbe essere
la forza più importante prima e dopo l’impatto.
Quanto dura un urto?
La durata ∆t dell’urto dipende dal tipo di interazione coinvolta.
Nel caso di urto tra corpi elastici, il processo di urto è
equivalente alla compressione/ espansione di una molla. La
durata è pari alla metà del periodo di oscillazione, e dipende
dunque dalla massa e dalla costante elastica:
∆t = π
m
k
Ad esempio, nell’urto di una palla da biliardo di 0.1 kg contro la sponda del tavolo, k ≈ 103 N m-1 e ∆t ≈ 0.01 s.
Nel caso di urto con deformazione permanente si assume generalmente che la forza sia costante durante l’impatto.
Dalle equazioni del moto uniformemente accelerato1, segue allora che:
∆t =
2s
vo
Nell’urto di un’auto contro una parete, lo spazio di arresto coincide con la deformazione della carrozzeria. Se vo = 20
ms-1, s =1 m, si ha ∆t ≈ 0.1 s. Nel caso di un proiettile che si conficca in una corazza alla profondità s = 5 cm,
vo ≈ 103 m s-1 e ∆t ≈ 10-4 s.
1
1

2
 s = a ∆t + v o ∆t
2
 0 = v o + a ∆t

Per il calcolo, è sufficiente eliminare a tra le equazioni del sistema 
Anche il processo di avvicinamento di una cometa al Sole può essere trattato
come urto. La forza esercitata dal Sole è intensa quando la cometa è al perielio,
poi rapidamente diminuisce.
Il tempo caratteristico ∆t può essere stimato assumendo costante la velocità v
della cometa nell’arco di lunghezza 2d:
∆t =
2d
v
Se v = 5 × 104 ms-1, d = 5 × 1010 m, ∆t ≈ 20 d. Si tratta comunque di un tempo breve rispetto al periodo di
rivoluzione della cometa.
La quantità di moto
r
Per definizione, la quantità di moto di un punto materiale di massa m e velocità v è data da
r
r
p=mv
r
ed è, dunque, un vettore parallelo a v .
L’unità di misura di p si determina dall’equazione dimensionale:
[p] = [m] [v] = kg m s-1 = N s
r
La II legge di Newton in termini di p
r
Dalla definizione di p , poiché la massa m non cambia nel tempo, segue che
r
r
r
dp d r
dv
= (mv ) = m
=ma
dt dt
dt
La II legge di Newton può dunque essere scritta in due modi equivalenti:
r
r
F=ma
↔
r dpr
F=
dt
Il teorema dell’impulso
r
r
Alla forza impulsiva F (t ) è associato il vettore impulso I , dato per definizione da:
r r
I = Fo ∆t
Durante l’urto, la II legge di Newton può essere scritta approssimativamente come:
r
r
∆p
Fo =
∆t
r
r
r
Fo ∆t = ∆p
→
r
r
in cui ∆p = p B − p A è la variazione della quantità di moto tra la condizione finale B (dopo l’urto) e la condizione
iniziale A (prima dell’urto). In altri termini, l’impulso della forza è pari alla variazione della quantità di moto:
r
r
I = ∆p
Quantità di moto e stabilità della traiettoria
r
Maggiore è la quantità di moto p o di una particella, più è difficile farle
cambiare traiettoria a causa di un urto trasversale. In altri termini, la
traiettoria è tanto più stabile, quanto maggiore è la quantità di moto.
La dimostrazione è basata sul teorema dell’impulso. A fianco sono
mostrati tre diagrammi. Il primo mostra la traiettoria di una particella
che subisce un urto trasversale, cioè in cui la forza è perpendicolare alla
quantità di moto iniziale (secondo diagramma).
La figura in basso, infine, rappresenta graficamente la relazione
r r r
I = p − p o , basata sul teorema dell’impulso.
La tangente dell’angolo di deflessione, con riferimento alla figura, è
dunque:
tan θ =
∆p
po
e quindi:
tan θ =
F ∆t
po
Da questa equazione segue che, per deflettere una particella di un angolo θ, dovremo applicare una forza tanto più
grande (o per un tempo tanto maggiore) quanto è più grande la sua quantità di moto iniziale. Se due particelle si
muovono alla stessa velocità, quella con la massa maggiore sarà anche la più stabile; se hanno la stessa massa, sarà più
stabile quella più veloce.
Come esempio, si consideri la deflessione di una cometa di massa m, velocità v, da parte del Sole. Usando l’espressione
della forza di gravitazione (calcolata al perielio) e l’espressione approssimata di ∆t, si ha:
tan θ =
 M m   2d   1 
MS
F ∆t
 = 2G
≈  G S2    
po
d
d v2

 v m v
Urti elastici e anelastici
In figura è rappresentato schematicamente l’urto di un proiettile
contro una parete elastica. In assenza di attrito, nel processo si ha la
conservazione dell’energia meccanica. D’altronde, tanto nella
condizione iniziale A, quanto nella condizione finale B, l’energia
potenziale elastica è nulla; quindi l’energia cinetica del proiettile non
cambia.
Gli urti nei quali l’energia cinetica iniziale è uguale all’energia cinetica finale sono detti urti elastici.
In un urto elastico:
- la forza di interazione è conservativa;
- non c’è variazione di energia potenziale tra condizione iniziale e condizione finale.
Gli urti non elastici sono detti anelastici.
Se si realizza sperimentalmente lo schema precedente, dopo l’urto si osserva che il pistone resta in oscillazione; una
parte dell’energia cinetica del proiettile è stata ceduta all’oscillatore armonico costituito da molla e pistone. In altri
termini, il proiettile ha perso energia. Si dimostra che l’energia persa è nulla solo se il pistone ha massa trascurabile.
Questa osservazione fa capire perché gli urti tra oggetti macroscopici non siano mai perfettamente elastici. Dopo ogni
urto vibrano moltissimi piccoli oscillatori: sono gli atomi degli oggetti venuti in contatto. Le vibrazioni degli atomi sono
dette agitazione termica. L’aumento dell’agitazione termica è percepito come aumento di temperatura dei corpi.