7. Urti Sistemi a due particelle – Definizione di urto elastico, urto

7.
Urti
Sistemi a due particelle – Definizione di urto elastico, urto anelastico e impulso
L’urto è un’interazione fra corpi che avviene in un intervallo di tempo normalmente molto
breve, al termine del quale le quantità di moto dei singoli corpi interagenti sono in generale
cambiate.
m1
v1f
v1i
urto
m2
v2f
v2i
Se il sistema è isolato la quantità di moto totale deve necessariamente conservarsi.
Per esprimere la forza che si sviluppa su un corpo durante un urto (di durata t) conviene
r
r
introdurre il concetto di impulso J e forza impulsiva F :
r
r
r
r r
r
dp
J = F dt = dt = p = p f pi
t
t dt
Chiaramente, se l’urto è idealmente istantaneo, t=0 e un impulso finito implica una forza
impulsiva infinita. Ovviamente è un caso estremo, tuttavia in pratica le forze impulsive che si
sviluppano negli urti sono spesso notevolmente più intense rispetto ad altre forze che
determinano il moto.
Per esempio, forze elastiche o gravitazionali non alterano apprezzabilmente la quantità di
moto delle componenti di un sistema durante un urto idealmente brevissimo (se t=0
l’impulso di tali forze finite è zero!).
Urto elastico per un sistema isolato: assieme alla quantità di moto si conserva anche l’energia
meccanica del sistema.
Urto anelastico per un sistema isolato: vale solo la conservazione della quantità di moto del
sistema, mentre l’energia totale può diminuire o aumentare.
Esempio: una massa m con velocità iniziale v0 urta una massa uguale inizialmente ferma.
Supponendo il moto unidimensionale, determinare il prodotto dell’urto nel caso che:
a) l’urto sia elastico
b) le due masse rimangano unite dopo l’urto
(prima)
m1
v0
(dopo)
m2
v1
x
v2
x
a) Bisogna imporre la conservazione dell’energia e della quantità di moto. Chiamiamo v1
e v2 le nuove velocità delle masse dopo l’urto, supponendole dirette come quella iniziale.
Questo non toglie generalità alla soluzione, perchè un risultato negativo significa
semplicemente che in quel caso la velocità è diretta in senso opposto.
m v 0 = m v1 + m v 2
1
1
1
2
2
2
2 m v 0 = 2 m v1 + 2 m v 2
v 2 = v1 v 0
2 2
2
v 0 =v1 + (v1 v 0 )
La seconda equazione si riduce a 0 =v12 v1 v 0 e ha due soluzioni: v1 =0 e v1 =v 0 che
corrisponde alla velocità iniziale (e implica v 2 =0 , come se l’urto non fosse per nulla
avvenuto!). Pertanto dopo l’urto le masse si sono scambiate le velocità:
v 2 = v 0
v1 = 0
L’impulso subito dalla massa che si arresta è J = 0 m v 0 = m v 0 , mentre quello subito
dalla massa che si mette in moto è uguale e opposto.
b) Basta imporre la conservazione della quantità di moto per trovare la velocità finale del
blocco costituito dalle due masse m unite:
m v 0 = (m + m)v f
v f = v 0 /2
L’impulso
subito
dalla
massa
inizialmente
in
moto
con
velocità
v0
è
J = m v 0 /2 m v 0 = m v 0 /2 , mentre quello subito dalla massa inizialmente ferma è
ancora uguale e opposto.
Si noti che in questo tipo di urti l’energia totale diminuisce:
1
1
1
E = K = 2m v 2f m v 02 = m v 02
2
2
4
Nota: in generale la conservazione della quantità di moto è un’equazione vettoriale, cioè
devono conservarsi separatamente le componenti del vettore quantità di moto totale, prima e
dopo l’urto.
Esempio: dimostrare che due masse m uguali che si urtano in un piano in maniera elastica,
libere di muoversi in qualsiasi direzione del piano, dopo l’urto si muovono in direzioni
perpendicolari.
prima
p2
p0
dopo
p1
Basta assumere un sistema di riferimento inerziale secondo il quale solo una delle due masse
r
r
v
m si muove con velocità v 0 e quantità di moto p0 = m v 0 . La condizione di urto elastico in
questo caso impone che
r r
r
p0 = p1 + p2
2
p0
p12
p22
=
+
2m 2m 2m
avendo scritto l’energia cinetica in termini di quantità di moto anzichè di velocità.
Sostituendo la prima nella seconda:
r r
( p1 + p2 ) 2 = p12 + p22
r r
p12 + p22 + 2 p1 • p2 = p12 + p22
r r
da cui risulta p1 • p2 = 0 , cioè i due vettori quantità di moto finali (e quindi le velocità) sono
perpendicolari.
Esempio: due carrelli di massa m sono agganciati mediante una fune tesa, e si muovono a
velocità costante v0 su una rotaia orizzontale senza attrito. Fra di essi è posta una molla di
costante elastica k compressa di una quantit x0 rispetto alla lunghezza di riposo. Determinare
le nuove velocità dei carrelli dopo che la fune si è spezzata.
fune
m
m
k
(1)
v0
(2)
Essendo il sistema isolato da forze esterne nella direzione del moto, si conserva senz’altro la
velocità del CM (v0). Quindi basta calcolare come è variata la velocità dei singoli carrelli
rispetto al CM. In base al teorema dell’energia (interviene solo la forza interna elastica,
conservativa):
(K + U int ) = 0
1
1
2
+ mi v i2 , ed essendo costante il primo termine otteniamo
ricordando che K = 2m v cm
2
2
i
1
mi v i 2 = U int
i 2
1
1
2 m v 2 = 0 k x 02 2
2
v =
k
x0
2m
Questo è il modulo della velocità di ciascuna massa rispetto al CM, uguali e opposte in base a
r
mi v i = 0
i
Infine, sarà v1 = v 0 v e v 2 = v 0 + v . Quindi i carrelli si allontanano l’uno rispetto all’altro a
velocità costante, mantenendo costante la velocità del CM.
Urti con corpi estesi
Finchè il sistema all’interno del quale avviene l’urto si può considerare isolato dall’esterno
vale la conservazione della quantità di moto e del momento angolare totale. Se l’urto è pure
elastico allora si conserva anche l’energia cinetica. Le uniche forze impulsive sono pertanto
quelle interne al sistema.
Esempio: una massa m con velocità v0 urta l’estremità di un’asta, inizialmente ferma, di
massa trascurabile con due masse uguali m a distanza d. La massa incidente rimane attaccata
all’asta dopo l’urto. Determinare il moto del sistema dopo l’urto (piano orizzontale liscio).
Possiamo subito stabilire che la velocità del CM resta costante, non essendoci forze esterne
orizzontali:
m v 0 = 3m v cm
v cm =
v0
3
Per sfruttare la conservazione del momento angolare, per esempio rispetto al punto fisso Q
coincidente con l’estremo dell’asta inizialmente ferma che viene urtato, conviene calcolare la
posizione del CM:
x cm =
md d
=
3m 3
r
r
r
r
Possiamo ora sfruttare il Teorema di Koenig ( L(Q ) = L(cm ) + rcm P ) insieme alla
conservazione del momento angolare rispetto a Q:
0 = x cm (2m x cm ) + ( d x cm ) [ m ( d x cm )] x cm 3m v cm
avendo scelto come verso positivo per le rotazioni quello orario. Infine:
=
v0
2d
È possibile verificare che l’energia cinetica è diminuita dopo l’urto.
Urti in presenza di vincoli – reazioni vincolari impulsive
Se il sistema non è più isolato dall’esterno ma ci sono vincoli precisi al movimento di alcune
sue parti, possono svilupparsi reazioni vincolari impulsive che agiscono sul sistema
dall’esterno, impedendo la conservazione della quantità di moto.
Esempio: due masse m sono attaccate alle estremità di un’asta lunga d che viene fatta
scivolare (moto traslatorio) su un piano orizzontale senza attrito come in figura, con velocità
v0. Determinare la velocità angolare di rotazione acquisita dall’asta quando essa si è
agganciata al perno Q. Determinare la reazione vincolare esercitata dal perno Q sull’asta nel
momento dell’urto.
Si tratta di un urto anelastico, come verificheremo alla fine. La presenza di una reazione
vincolare esterna impulsiva impedisce la conservazione della quantità di moto, mentre si
conserva senz’altro il momento angolare rispetto a Q (momento nullo della forza impulsiva).
Possiamo scrivere:
L(Q ) =costante
d m v 0 = d m ( d )
da cui = v 0 /d . Quindi la quantità di moto totale del sistema non si conserva al termine
dell’urto:
P = m ( d ) 2m v 0 = m v 0
Pertanto il perno Q sviluppa sull’asta una forza impulsiva diretta verso sinistra,
J = P = m v 0 . L’energia del sistema è diminuita:
1
1
1
2
K = m( d ) 2mv 02 = mv 02
2
2
2