Esame Scritto, Modulo di Fisica 1, Corso di Chimica e Fisica

Esame Scritto, Modulo di Fisica 1, Corso di Chimica e Fisica Generali, per Biotecnologie
22 Febbraio 2012
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Un libro di testo è a disposizione per consultazione. Costanti utili:
accelerazione di gravità g = 9.81 m/s2 , massa dell’elettrone me = 9.1 × 10−31 kg, carica elementare e = 1.602 × 10−19
C, costante di Coulomb κ = 8, 99 · 109 Nm2 C−2 Si raccomanda di spiegare in modo conciso ma chiaro il procedimento
seguito: risposte del tutto prive di giustificazione non saranno considerate valide anche se corrette. Ogni domanda
sarà valutata fino a 4 punti.
Problema 1
Due blocchi di massa m1 = 3 kg e m2 = 4 kg sono connessi da una corda
inestensibile di massa trascurabile. Il coefficiente di attrito tra la massa 1 e il
tavolo vale µ = 0.40.
1. Determinare l’accelerazione dei blocchi.
2. Trovare la tensione della corda.
3. Supponiamo che la massa 1 sia inizialmente ferma a distanza d = 1.25
m dal bordo del tavolo. Quanto tempo impiega ad arrivare al bordo del
tavolo?
Problema 2
Una palla da biliardo che si muove a velocità di 10 m/s colpisce un’altra palla, ferma, di ugual massa. Dopo l’urto la
palla proiettile si muove a 5 m/s lungo una traiettoria che forma un angolo di 60 gradi rispetto a quella originale.
1. Determinare modulo e direzione della velocità della palla bersaglio.
2. L’urto è elastico o no? (spiegare)
Problema 3
Un elettrone parte da fermo da un punto A che dista d = 1 cm da due protoni,
che distano d fra di loro.
1. Qual è l’energia potenziale del sistema delle tre cariche al momento iniziale?
2. Quando arriva nel punto medio B fra i due protoni, qual è la sua velocità?
(si trascuri il moto dei protoni)
Problema 4
Tre resistenze: R1 = 18Ω, R2 = 120Ω, R3 = 180Ω, sono connesse a una
differenza di potenziale (d.d.p) V = 90 Volt come in figura. Trovare
1. la d.d.p ai capi di ciascuna resistenza,
2. la potenza dissipata in ogni resistenza.
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Soluzione
Problema 1
Scriviamo le equazioni del moto per ogni massa. Sulla massa 1, lungo un asse orizzontale diretto verso destra:
m1 a1 = −µN + T1 , dove N = m1 g è la reazione vincolare del piano con coefficiente di attrito µ. Per la massa 2, lungo
un asse verticale diretto verso il basso: m2 a2 = m2 g − T2 . Dato che la corda è inestensibile e di massa nulla, possiamo
assumere T1 = T2 ≡ T , a1 = a2 ≡ a. Sommando le due equazioni del moto si ottiene (m1 +m2 )a = m2 g−µm1 g (ovvero
il risultato prevedibile se consideriamo le due masse come sistema unico). Da qui, a = (m2 g − µm1 g)/(m1 + m2 ) =
0.4g = 3.924 m/s2 .
Sostituiamo a nell’equazioni per une delle masse e troviamo la tensione T = m2 (a − g) = 0.6mg
p = 23.54 N.
Il moto è uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, quindi d = at2 /2 ovvero t = 2d/a ' 0.8 s
Problema 2
Vale la conservazione della quantità di moto. Introduciamo assi xy con x lungo la direzione di moto prima dell’urto,
y verso l’alto. Lungo x: mV = mv1 cos θ + mv2 cos α. Lungo y: 0 = mv1 sin θ − mv2 sin α, dove V è la velocità della
palla incidente prima dell’urto, v1 dopo l’urto, θ = 60 gradi; v2 la velocità della palla colpita che forma un angolo α
con l’asse x (v2 e α incognite). Si trova: v2 cos α = 7.5 m/s, v2 sin α = 4.33 m/s, da cui v2 = 8.66 m/s, α = 30 gradi.
E’ immediato verificare, sostituendo i valori ottenuti, che vale la conservazione dell’energia: mV 2 /2 = mv12 + mv22 .
ovvero l’urto è elastico.
Nota: si può dimostare in modo generale che nell’urto elastico di due particelle di massa uguale in cui una delle due
è inizialmente ferma, le due particelle dopo l’urto viaggiano in direzioni ortogonali.
Problema 3
L’energia potenziale di un sistema di tre cariche in interazione è la somma delle energie potenziali di ogni coppia di
cariche, ovvero:
e2
e2
e2
q1 q3
q3 q2
e2
q1 q2
+k
+k
= −k − k + k = −k
UA = k
d12
d13
d32
d
d
d
d
(d12 = d13 = d23 = d; q1 = −e, q2 = q3 = +e) ovvero UA = 2.3 × 10−26 J.
Possiamo applicare la conservazione dell’energia: KA + UA = KB + UB , dove KA = 0, KB = me v 2 /2, energia cinetica
dell’elettrone in B. L’energia potenziale in B è
UB = −k
e2
e2
e2
e2
−k
+ k = −3k
(d/2)
(d/2)
d
d
(notare che UB < UA ) da cui
e2
1
me v 2 = UA − UB = 2k = 4.6 × 10−26 J
2
d
p
ovvero v = 4ke2 /(dme ) = 318 m/s.
Nota: è del tutto equivalente calcolare l’energia cinetica acquistata come e(VB − VA ), dove VA e VB sono il potenziale
elettrostatico generato dalle due cariche positive in A e B rispettivamente:
VA =
2ke
4ke
, VB =
d
d
Problema 3
Le due resistenza in parallelo sono equivalenti ad una resistenza R23 = R2 R3 /(R2 + R3 ) = 72Ω. Questa, in serie
alla resistenza R1 , produce una resistenza equivalente R = R1 + R23 = 90Ω. Di conseguenza la corrente erogata
dalla batteria è I = 90V /80Ω = 1A. Ai capi della resistenza R1 , la caduta di potenziale è V1 = R1 I = 18V .
Ai capi delle resistenze R2 e R3 , la caduta di potenziale è la stessa che per la resistenza equivalente R23 , ovvero
V2 = V3 = R23 I = 72V . Ovviamente la somma di V1 e V2 (o V3 ) dà 90V come richiesto dalle leggi di Kirchoff.
Potenza dissipata nella resistenza 1: w1 = R1 I 2 = 18W . Potenza dissipata nelle resistenze 2 e 3: conviene usare
w2 = V22 /R2 = 43.2W , w3 = V32 /R3 = 28.8W . Ovviamente, w2 + w3 = 72W è uguale alla potenza dissipata nella
resistenza equivalente R23 = 72Ω, nella quale scorre una corrente I = 1A.
Nota: se si preferisce usare l’espressione w2 = R2 I22 , w3 = R3 I32 , ove I2 , I3 sono le correnti che passano nella
resistenza 2 e 3 ripettivamente: dalle leggi di Kirchoff, I2 + I3 = I, I2 R2 = I3 R3 , da cui I2 = IR3 /(R2 + R3 ) = 0.6A,
I3 = IR2 /(R2 + R3 ) = 0.4A.
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