RIPASSO DI ARITMETICA

NUMERI
INTERI
E
NUMERI DECIMALI
Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una
cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza, si esprime il
risυltato di un conteggio o di una misura.
Questi risultati si esprimono dunque per mezzo di numeri: 45 è un numero intero; 1,35 è un
numero decimale.
Che cosa rappresenta ciascuna cifra di un numero?
Ciascuna delle cifre di un numero rappresenta delle unità di un certo ordine.
Esempio: Nel numero Intero 84372
2 rappresenta
7
"
3
"
4
"
8
"
le unità semplici,
le decine,
le centinale,
le migliaia,
le decine dl migliaia, ecc.
Tutte queste unità sono dette intere e il numero si legge:
ottantaquattromilatrecentosettantadue unità.
Nel numero decimale 0,2398:
2
3
9
8
rappresenta
"
"
"
i decimi,
i centesimi,
i millesimi,
i decimillesimi, ecc.
Tutte queste unità sono dette decimali, e il numero si legge:
due mila tre cento novantotto decimillesimi
Le unità intere e decimali, sono tali che una unità di un qualunque ordine vale 10
unità dell'ordine immediatamente inferiore.
Esempio: un centinaio vale 10 decine;
un centesimo vale 10 millesimi;
Quando un ordine di unità manca di un numero, in suo luogo, si scrive la
cifra 0 ( zero ).
Esempio : Il numero ottomilasette, si scrive 8007
Come si scrive correttamente un numero?
Si separano le cifre del numero in gruppi di tre, a partire dalla destra se il numero è intero e a partire
dalla virgola, sempre verso sinistra se il numero è decimale, lasciando uno spazio o inserendo un
punto (come pedice) fra i gruppi di cifre.
Esempio:
7 235 567
oppure
7. 235. 567
Come si può rendere un numero 10, 100, 1000 più grande?
Per rendere un numero 10, 100, 1000 volte più grande, se il numero è intero, si aggiungono 1, 2,
3 .. zeri alla sua destra, così il numero 926, reso 100 volte più grande diventa 92. 600, se il
numero è decimale, si sposta la virgola di 1, 2, 3 posti verso destra (aggiungendo degli zeri nel
caso in cui le cifre non siano in numero sufficiente);
così il numero 2, 34 reso 1000 volte più grande diventa 23. 400
Come si può rappresentare un numero su una semiretta graduata e su una circonferenza
graduata?
Esempio : su una semiretta OA , segniamo dei punti equidistanti 0, 1, 2, 3, 4, ....
O
1
O
il punto M rappresenta il numero
2
3
2
2,7.
4
5
M
A
3
A
Allo stesso modo si divide la circonferenza in parti (archi) uguali, che successivamente graduiamo.
Le quattro operazioni fondamentali
ADDIZIONE
Come si fa un'addizione
Per fare correttamente un'addizione, si scrivono i numeri gli uni sotto l'altro, scrivendo in una stessa
colonna le unità dello stesso ordine.
Si sommano le cifre in colonna cominciando da destra e si riportano le unità di ordine superiore
nella colonna seguente.
Es.
21
riporti
426
29,54
108,7
+
addendo
+
addendo
=
addendo
564,24
somma
I termini dell'addizione si chiamano addendi ed il risultato somma.
L'addizione gode delle proprietà
commutativa (cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia)
es.
15 + 12 = 27
associativa
12 + 15 = 27
(associando due o più addendi la somma non cambia)
es.
17 + 3 + 18 = ( 17 + 3 ) + 18 = 20 + 18 = 38
dissociativa
es.
e
( dissociando uno o più addendi in più addendi la somma non cambia)
23 + 12 = 20 + 3 + 10 + 2 = 35
gode dell'esistenza dell'elemento neutro, "lo zero" ( sommando ad un numero lo zero si
ottiene il numero stesso)
es.
14 + 0 = 14
Prova dell'addizione
Per fare la prova dell'addizione, si ripete l'operazione in senso contrario, cioè dal basso verso l'alto
anziché dall'alto verso il basso. Si deve ottenere lo stesso risultato.
Somma di numeri complessi
Si trovano i titoli delle unità dello stesso ordine, cominciando dalle più piccole. Ogni totale che
supera l'unità di ordine superiore, si decompone e si riportano le unità eccedenti.
Es.
8h
30 m
15 s
+
3h
50 m
30 s
=
11 h
80 m
45 s
+
1h
12 h
=
20 m
riporto
45 s
Somma di misure
Dovendo sommare delle misure, bisogna che queste siano tutte della stessa specie ( tutte lunghezze,
o tutte superfici o ....) ed inoltre che siano tutte delle stessa unità di misura. Se le unità di misura
sono diverse, si riducono prima nella stessa unità di misura e poi si esegue la somma.
SOTTRAZIONE
Come si fa una sottrazione
L'operazione di sottrazione si svolge scrivendo i due numeri che si debbono sottrarre, uno sotto
l'altro, collocando nella stessa colonna le unità dello stesso ordine.
Cominciando da destra verso sinistra si fa la sottrazione delle unità di ogni colonna.
Se la cifra del numero che si deve sottrarre è più grande della cifra corrispondente del numero da
cui si deve sottrarre, si aggiunge a quest'ultima cifra una unità dell'ordine superiore trasformata in
dieci unità dell'ordine inferiore ( ricordando però quando si passa alla colonna successiva che la
cifra del minuendo è stata diminuita di una unità), e si esegue la sottrazione.
Es.
3 10
6 4
2,7
-
minuendo
2 8, 2
=
sottraendo
6 1 4, 5
differenza
I termini della sottrazione si chiamano minuendo, sottraendo e differenza
Prova della sottrazione
Per fare la prova della sottrazione, si deve sommare la differenza ed il sottraendo, il risultato deve
dare il minuendo.
Differenza di numeri complessi
Si sottraggono le unità dello stesso ordine cominciando dalle più piccole. Quando il numero delle
unità che si debbono sottrarre è maggiore di quello da cui bisogna sottrarre, al minuendo si fa un
riporto di unità dell'ordine superiore trasformato nell'ordine inferiore e si somma alle unità
precedenti, permettendo l'operazione.
Es.
12°
43'
38'' -
12°
42' 98'' -
5°
34'
50'' =
5°
34' 50''
7°
9' 48''
=
Differenze di numeri complessi
Vale quanto detto per il N° 4 dell'addizione.
MOLTIPLICAZIONE
Come si fa una moltiplicazione
Si moltiplica il moltiplicatore per il moltiplicando, cominciando da destra. Se un prodotto è
superiore a dieci, si fa il riporto di unità nel prodotto seguente.
Quando il moltiplicatore è composto da più cifre, si moltiplica ciascuna di esse, una per volta, per il
moltiplicando.
Si scrivono i prodotti parziali l'uno sotto l'altro, in maniera che le cifre che rappresentano le unità
dello stesso ordine siano successivamente scalate di un posto a destra (*), poi si sommano i prodotti
parziali.
Se il moltiplicando e (o) il moltiplicatore, cioè i fattori sono numeri decimali, nel prodotto finale, si
posizionala virgola contando da destra verso sinistra tanti posti quanti sono le cifre decimali dei
fattori.
Es.
riporto
moltiplicando
1
6 3 2 x
4 5 6 x
fattori
moltiplicatore
prodotto
4
2 5 2 8
=
3 8 =
3 6 4 8
1 3 6 8
7 3 2 8
(*)
456 x 8
456 x 30
I termini della moltiplicazione si chiamano moltiplicando, moltiplicatore o fattori ed il
risultato prodotto.
moltiplicazione per 10, 100, 1000, ...
Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1000, ... (se il moltiplicando è intero) si aggiungono alla
destra del numero tanti zeri quanti sono gli zeri del moltiplicatore.
Nel caso in cui il moltiplicando sia invece un numero decimale si sposta la virgola a destra di tanti
posti quanti sono gli zeri del moltiplicatore, aggiungendo eventualmente degli zeri, nel caso in cui
le cifre del moltiplicando non siano in numero sufficiente.
Es.
35 x 10
= 350
x 100 = 2700
4,73 x 10 = 47, 3
28, 48 x 1000 = 28.480
Non è pertanto necessario fare l'operazione completa.
3. Moltiplicazione per 0,1; 0,01; 0,001; .....
Per moltiplicare un numero per 0,1;
0,01; 0,001; ..... si sposta la virgola del moltiplicando verso
sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri + 1 del moltiplicatore, se il numero delle cifre del
moltiplicando non sono in numero sufficiente si aggiungono degli zeri.
Nel caso in cui il numero sia intero, si considera la virgola posta a destra alla fine del numero.
Es.
35 x 0,1 = 3,5
436,52 x 0,0001 = 0,43652
DIVISIONE
I termini della divisione si chiamano dividendo, divisore, quoziente e resto.
Come si esegue una divisione
divisione tra due numeri interi
dividendo maggiore del divisore
Per fare la divisione tra due numeri interi bisogna considerare per prima cosa tante cifre del
dividendo quante sono quelle del divisore.
Se il divisore è più grande del numero espresso dalle cifre considerate del dividendo, a
queste se ne aggiunge ancora una del dividendo
Si deve ora trovare un numero che moltiplicato per il divisore, ci dia un numero uguale, o
nel caso non sia possibile, che si avvicini per difetto quanto più possibile al numero
individuato dalle cifre (prese in considerazione) del dividendo.
A tale scopo, si considera la prima cifra del divisore e si verifica quante volte essa è
contenuta nella prima o al massimo nelle prime due cifre del dividendo, l'eventuale resto lo
si considera come scritto alla sinistra della successiva cifra del dividendo.
Se la seconda cifra del divisore è contenuta in quest'ultimo numero lo stesso numero di volte
trovato per la prima delle sue cifre, questo numero (prima cifra del quoziente) lo si scrive
sotto il divisore e lo si moltiplica per quest'ultimo, il risultato ottenuto va riportato sotto le
cifre del dividendo considerate e, si esegue fra queste la sottrazione;
Se ciò non accade si diminuisce di una unità il numero di volte che la prima cifra del
divisore è contenuta nelle cifre considerate del dividendo e si continua così finché non si
verificano le condizioni del punto V.
Se il divisore è formato da più di due cifre, il procedimento fatto ai punti IV, V e VI per le
prime due cifre viene esteso alle altre.
Se il dividendo presenta ulteriori cifre, la prima fra quelle non considerate in precedenza, la
si affianca al resto trovato e si ripetono tutti i passaggi fin qui espressi.
Se non ci sono ulteriori cifre nel dividendo, la divisione termina, oppure si può continuarla
aggiungendo uno zero al resto e la virgola al quoziente.
Divisore più grande del dividendo:
si aggiunge uno zero al dividendo
si scrive zero seguito da una virgola al quoziente e si procede come nel caso precedente.
divisione tra numeri decimali
dividendo decimale e divisore intero
Quando la divisione tra la parte intera del dividendo per il divisore è terminata, si scrive una virgola
al quoziente e si continua come normalmente.
divisore decimale - dividendo e divisore entrambi decimali
Si moltiplicano entrambi i termini della divisione per 10, 100, 1000 ... finché il divisore non
diventi intero.
Come si controlla il risultato della divisione
Si moltiplica il quoziente per il divisore, al prodotto si aggiunge l'eventuale resto. Se il risultato
ottenuto coincide con il dividendo, la divisione è svolta correttamente.
Divisione per 10, 100, 1000, ...
Si sposta verso sinistra la virgola di uno, due, tre, ... posti , tanti, quanti sono gli zeri del divisore,
aggiungendo se necessario degli zeri.
Se il numero è intero, si considera la virgola come scritta alla fine del numero.
Divisione per 0,1; 0,01; 0,001;......
Si sposta la virgola verso destra di uno, due, tre, ... posti, tanti quanti sono gli zeri del divisore,
aggiungendo se necessario degli zeri.
Se il numero è intero, si considera la virgola come scritta alla fine del numero.
Prova per nove delle quattro operazioni.
Il criterio di divisibilità di 1111 numero per 9, trova una pratica applicazione per verificare
l'esattezza del risultato ottenuto eseguendo una delle quattro operazioni fondamentali.
Prova dell'addizione.
Si calcolano i resti per 9 degli addendi. Se l'operazione è stata ben eseguita, la somma di tali resti ed
il totale, divisi per 9 devono dare resti uguali
Es.:
143 +
275 +
724 =
1142
resto della divisione per 9
resto della divisione per 9
resto della divisione per 9
resto 8
8+
5+
4=
17
resto 8
Prova della sottrazione.
Si calcola il resto della divisione per 9 del minuendo e del sottraendo. Dal primo resto (aumentato
eventualmente di 9) si toglie il secondo; se questa differenza ed il risultato della sottrazione, divisi
per 9 danno resti uguali, l'operazione è stata ben eseguita.
Es.:
764 501 =
263
resto 2
resto della divisione per 9
resto della divisione per 9
86=
resto della divisione per 9
2
resto 2.
Prova della moltiplicazione.
Si calcolano i resti della divisione per 9 dei fattori e si determina il pro dotto di tali resti. Se
l'operazione è stata ben eseguita, il resto della divisione per 9 di tale prodotto deve essere uguale al
resto della divisione per 9 del prodotto dei numeri dati.
Es.:
745 x
32 =
resto della divisione per 9
resto della divisione per 9
7 x
5=
35
resto 8
1490
2235
23840
resto 8
Prova della divisione.
Si calcolano i resti della divisione per 9 del divisore, del quoziente e de] resto. Si esegue il prodotto
dei primi due resti, si aggiunge il terzo e si calcola il resto della divisione per 9 del numero così
ottenuto. Se l'operazione è stata ben eseguita, quest'ultimo resto deve essere uguale al resto della
divisione per 9 del dividendo.
Es.:
3727
132
127
7
24
155
resto del dividendo 1
resto del divisore
resto del quoziente
resto del resto
6x
2=
12 +
7 =
19
resto 1
N.B.
La prova per 9 delle quattro operazioni non ci assicura l'esattezza del risultato, perché se
eseguendo un'operazione si commette un errore che sia 9, o un multiplo di nove, esso non risulta
eseguendo la prova.
MISURA DEGLI ANGOLI, DEGLI ARCHI e DEI TEMPI
Misura degli angoli.
Per misurare gli angoli si prende per unità l'angolo di un grado, cioè l'angolo che ha una
ampiezza eguale alla trecentosessantesima parte dell'angolo giro.
L'angolo di un grado ha due sotto multipli, e cioè l'angolo chiamato minuto, e l'angolo
chiamato secondo.
L'angolo di un grado vale 60 minuti. L'angolo di un minuto vale 60 secondi.
Un angolo ed un tempo non si misurano con un numero decimale, ma con un numero che si
chiama numero complesso. Per esempio un angolo di 3 gradi, 5 primi e 20 secondi si indica
con il numero complesso: 3° 5' 20".
Misura degli archi.
La misura di un arco di circonferenza è la stessa dell'angolo al centro che su quella
circonferenza corrisponde all'arco dato.
Per esempio se un angolo al centro su una circonferenza misura 30° 35', l'arco che corrisponde
a questo angolo, avrà un misura di 30° 35'.
Misura dei tempi.
L'unità di misura del. tempo è Il giorno.
Il giorno ha come sottomultipli : l'ora, il minuto, il secondo.
1 giorno
vale 24 ore
1g =24h
1 ora
vale 60 minuti
1h = 60m
1 minuto
vale 60 secondi
1 m = 6O sec
Un tempo si indica quindi ancora con un numero complesso.
Da notare che i simboli usati per indicare i minuti ed i secondi come unità di tempo sono
diversi da quelli usati per indicare le unità degli angoli.
TRASFORMAZIONE DI UN NUMERO COMPLESSO IN UNITA' DELL'ORDINE.
PIU' PICCOLO
Esempio: Trasformare 5° 35 ' 40 '' in secondi.
5°
valgono
60' x 5 = 300 '
5° 35'
valgono
300' + 35' = 335'
335'
valgono
335' x 60'' = 20.100''
5° 35' 40''
valgono 20.100'' + 40'' = 20. 140''
TRASFORMARE UN NUMERO COMPLESSO IN UNITA' SUPERIORE
Esempio: Trasformare 16.243'' in gradi, minuti e secondi:
L'operazione si dispone così:
16 243 ''
60
12 0
270'
"4 24
240
420
" " 43''
30'
60
4°
16.243" valgono 4° 30' 43''
LE POTENZE
L'operazione potenza nasce dalla necessità di snellire l'espressione di un prodotto, quando i fattori
sono tutti uguali.
Ad esempio nella espressione:
2x2x2x2x2x2
il fattore 2 e ripetuto ben sei volte.
Tale espressione può invece scriversi più brevemente 26 ( si legge due alla sesta).
Una scrittura del tipo 26 chiamasi potenza.
Essa come si può notare è formata da due numeri, nel nostro caso il due a cui si dà il nome di base
ed il sei a cui si dà il nome esponente .
E' evidente che l'esponente indica quante volte è scritto il fattore, nella nostra espressione il due è
scritto ben sei volte.
Così con la scrittura 35 si vuole indicare che il numero 3 è moltiplicato 5 volte per se stesso.
Così :
23 = 2 x 2 x 2
( il fattore due è "considerato" 3 volte)
22 = 2 x 2
( il fattore due è "considerato" 2 volte)
21 = 2
( il fattore due è "considerato" una sola volta)
20 = 1
( il fattore due è "considerato" zero volte, ciò significa che esso non
influisce sul risultato dell'operazione, e l'unico numero che nella
moltiplicazione è ininfluente è l'uno).
Ogni numero intero è dunque una potenza con esponente unitario
Ogni numero elevato alla zero è uguale ad uno
LE PROPRIETA' DELLE POTENZE
Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è uguale ad un'altra potenza che ha per
base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
23
Es.
infatti
X
2x2x2
22 =
25
X 2x2 = 2x2x2x2x2
Il rapporto di due potenze aventi la stessa base è uguale ad un'altra potenza avente per
base la stessa base e per esponenti la differenza degli esponenti.
E' intuibile infatti che, se il prodotto dà origine alla somma, il rapporto che è l'operazione contraria
del prodotto, darà origine alla differenza ( operazione contraria della somma).
Il prodotto di potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad un'altra potenza avente
per
base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Es.
infatti
23
x
53
=
(2 x 5) 3 = 10 3
2x2x2 x 5x5x5
e applicando al prodotto, prima la proprietà commutativa
2x5 x 2x5x2x5
e poi quella associativa,
10 x 10 x 10 = 10 3
Lo stesso risultato si può verificare attraverso l'uso del calcolo manuale o con l'ausilio della
calcolatrice.
Il rapporto di potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad un'altra potenza avente per
base il rapporto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Es.
10 3
:
53
x 10 x 10 ) : ( 5 x 5 x 5 )
=
23
applicando la proprietà dissociativa
( 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5) : ( 5 x 5 x 5 )
applicando la proprietà commutativa
( 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5) : ( 5 x 5 x 5 )
applicando la proprietà associativa
( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5) : ( 5 x 5 x 5 )
(2 x 2x 2) = 23
c. v . d.
risulta pertanto evidente
POTENZA DI POTENZA
Una potenza che ha per base un'altra potenza dicesi potenza di potenza.
Es.
4
(2 3 )
dicesi potenza di potenza, il 4 è l'esponente e 2 3 la base.
La potenza di potenza è uguale ad una potenza avente per base la base della potenza primaria
e per esponente il prodotto degli esponenti, così:
4
(2 3 )
= 2 12
infatti :
4
(2 3 )
=
(2 3 )
x
(2 3 )
x
(2 3 )
x
(2 3 )
2x2x2
x
2x2x2
x
2x2x2
x
2x2x2
= 2 12
Nessuna proprietà è stata attribuita alle potenze nelle operazioni di addizioni e di sottrazioni.
In tali operazioni le potenze vanno quindi calcolate preventivamente e poi se ne considera il loro
valore nel contesto dell'espressione.
Es.
2 3 + 2 2 = 8 + 4 = 12.
DIVISIBILITA'
MULTIPLI E DIVISORI
Se la divisione di due numeri è esatta, se cioè il resto è zero, si dice che il primo numero
(dividendo) è multiplo del secondo (divisore), o che è divisibile per il secondo.
Poiché ad es., dividendo 72 per 9 si ha per resto zero, diremo che:
72 è multiplo di 9, o che 72 è divisibile per 9.
In questo caso sì dice anche che 9 è un divisore di 72, o un sottomultiplo di 72.
E' evidente poi che:
Ogni numero maggiore di 1 ammette almeno come divisori se stesso e l'unità.
I divisori di un numero sono in numero limitato.
Ad es. i divisori di 13 sono so1tanto 1 e 13, i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ogni prodotto è divisibile per ognuno dei suoi fattori.
Ad es.: 5 x 7 x 9 = 315 è certamente divisibile per 5, 7 e 9, come risulta per una proprietà della
divisione.
Dato un numero qualsiasi, ad es. 9, moltiplicandolo successivamente per tutti i numeri della
successione naturale 1, 2, 3, 4, 5,... otterremo i numeri 9, 18, 27, 36, 45,... che sono tutti multipli
di 9, e sono evidentemente in numero illimitato. Cioè:
I multipli di un dato numero si ottengono moltiplicandolo successivamente per ciascun
numero della successione naturale, e seno in numero illimitato.
I multipli di 2, cioè: 2, 4, 6, 8, 10,....si dicono numeri pari; tutti gli altri numeri interi non multipli di
2, si dicono numeri dispari.
CRITERI DI DIVISIBILITA'
Studiamo ora alcune regole, chiamate criteri di divisibilità, che consentono di riconoscere se un
numero è divisibile per alcuni altri, senza eseguire la divisione.
Criterio di divisibilità per 2.
E' evidente che i numeri divisibili per 2 sono solo i multipli di 2, cioè i numeri: 2, 4, 6, 8, 10,...
Essi terminano tutti con cifra pari o con zero, ne segue che:
Un numero è divisibile per 2, se termina con cifra pari, o con zero.
Criterio di divisibilità per 5.
I successivi multipli di 5, cioè tutti i numeri divisibili per 5 sono: 5, 10, 15, 20,...
Essi terminano tutti con le cifre O oppure 5; ne segue che:
Un numero è divisibile per 5, se termina con O, o con 5.
Criterio di divisibilità per 10, 100, 1000...
Un numero è divisibile per 10, 100, 1000,... se termina rispettivamente con 1, 2, 3, ... zeri.
Applicando tale regola si riconosce subito che i numeri 120, 3700, 43000, sono rispettivamente
divisibili per 10, 100, 1000.
Criterio di divisibilità per 4 o per 25
Un numero è divisibile per 4 o per 25, se lo è il numero formato dalle sue due ultime cifre a
destra, o se termina con due zeri.
Applicando tale regola si riconosce subito che i numeri: 300, 2344, 104, 2108 sono tutti divisibili
per 4,
mentre sono tutti divisibili per 25 i numeri: 425, 250, 1375, 2000.
Divisibilità per 3, o per 9.
Un numero è divisibile per 3, o per 9, se lo è la somma delle cifre.
Ad es. il numero 726 è divisibile per 3, perché la somma delle sue cifre:7 + 2 + O 15 è divisibile
per 3.
Il numero 4356 è divisibile per 9, perché la somma delle sue cifre: 4 + 3 + 5 + 6 = 18 è divisibile
per 9.
Il numero 674 ad es. non è divisibile nè per 3, nè per 9, perché non lo è la somma delle sue cifre
6 + 7 + 4 = 17;
Divisibilità per 11
Un numero è divisibile per 11, quando la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e
la somma delle cifre di posto pari è zero, o 11, o un multiplo di 11.
In un numero, le cifre di posto dispari sono la 1a, la 3 a , la ...... partendo da destra verso sinistra, e
le cifre di posto pari sono le altre, cioè la 2 a , la 4 a , ecc...
Consideriamo ad es. il numero 8624; eseguendo la somma delle cifre di posto dispari 4 e 6, e di
quelle di posto pari 2 e 8, si ha:
4 + 6 = 10
e 2+8=10;
poiché la differenza delle due somme ottenute è zero, possiamo affermare che il dato numero è
divisibile per 11, come possiamo facilmente accertarci eseguendo la divisione.
Se la somma delle cifre di posto dispari, risulta minore di quella delle cifre di posto pari, dalla
maggiore delle due somme si sottrae l'altra.
In modo analogo, considerando il numero 9785567, ed eseguendo la somma delle sue cifre di posto
dispari e quella delle sue cifre di posto pari, si ha:
7 + 5 + 8 + 9 = 29 e 6 + 5 + 7 = 18;
la differenza delle due somme ottenute:
29 - 18 = 11,
quindi il dato numero è divisibile per 11.
MINIMO COMUNE MULTIPLO
Per minimo comune multiplo (si indica con m.c.m.) tra due o più numeri si intende il più piccolo
fra i multipli comuni dei numeri considerati.
Si a data ad esempio la seguente coppia di numeri ( 4 , 6 )
I multipli di 4 sono
8
12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 ...
I multipli di 6 sono 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 .....
i multipli comuni sono evidentemente 12,
24,
36,
48,
60,
72, .......
il minore risulta evidentemente il 12. Si può concludere che il m.c.m. tra 4 e 6 è 12.
Chiaramente non è conveniente scrivere ogni volta tutti i multipli dei numeri assegnati, al fine di
ricercare il m.c.m. converrà pertanto ricorrere alla seguente regola:
Si scompongono i numeri in fattori primi e si considerano i fattori comuni e non comuni una
sola volta con il massimo esponente
Es.
4
2
6
2
4 = 22
2
2
3
3
6 = 2*3
1
m.c.m. (4 , 6) = 22 * 3 = 12
1
MASSIMO COMUNE DIVISORE
Per massimo comune divisore (si indica con M.C.D.) il più grande tra i divisori comuni dei numeri
considerati.
Si consideri ad esempio la coppia di numeri (12 , 18),
I divisori di 12 sono 12
6
4
3
2
1
I divisori di 18 sono 18
9
6
3
2
1
I divisori comuni sono : 6
3
2
1
Il più grande è evidentemente il 6.
Pertanto il M.C.D. tra ( 12 , 18) è 6.
Anche per la ricerca del M.C.D. non risulta però conveniente procedere nel modo indicato,
quest'ultimo infatti, è utile solo per chiarire il concetto dello stesso, per il calcolo invece conviene
seguire la seguente regola:
Si scompongono i numeri in fattori primi e si considerano soltanto quelli comuni una sola
volta con il minimo esponente.
Es.
12
2
18
2
12 = 22 * 3
6
2
9
3
18 = 32 * 2
3
3
3
3
m.c.m. (12 , 18) = 2 * 3 = 6
1
E' evidente che se i numeri assegnati non hanno divisori in comune oltre l'unità, sarà proprio
quest'ultima ad essere il loro M.C.D.
LE FRAZIONI
Ogni qualvolta si considera una o qualcuna delle parti uguali in cui viene suddiviso un
qualcosa di qualsiasi natura, sia che si tratti di merce o di danaro o qualsiasi altra cosa, si
parla di frazioni.
Es.
Prendiamo un foglio di quaderno, pieghiamolo in parti quattro parti uguali e consideriamone
(colorandole magari) tre di queste quattro parti, diremo che abbiamo considerato i tre quarti del
foglio.
1/4
1/4
1/4
1/4
3/4
Ognuna delle parti in cui abbiamo suddiviso il foglio rappresenta 1/4 del tutto.
Di parti colorate ne abbiamo tre, quindi 3/4.
Le scritture 1/4; 3/4; rappresentano il modo con cui vengono indicate le frazioni.
E' evidente che per rappresentare le frazioni si ha bisogno di tre elementi:
due numeri, il primo (numeratore) indica il numero delle parti considerate; il secondo
(denominatore) le parti in cui abbiamo suddiviso la quantità.
(Il denominatore deve essere un numero non nullo).
una linea , detta linea di frazione.
Le frazioni sono di tre tipi:
proprie
improprie
apparenti
Una frazione si dice propria quando il numeratore è più piccolo del denominatore, impropria nel
caso contrario, apparente quando numeratore e denominatore sono uguali (il loro rapporto è uno) o
comunque quando il rapporto tra questi (numeratore e denominatore) dà un numero intero.
Torniamo ora al foglio di quaderno, pieghiamolo in due parti uguali in senso verticale, e coloriamo
una delle due parti.
1/2
la parte colorata rappresenta la metà del foglio ( 1/2 ); se ora operiamo una seconda piegatura al
foglio, questa volta in senso orizzontale, il foglio risulterà suddiviso in quattro parti uguali, le parti
colorate saranno ora quattro; la quantità colorata sarà però la stessa di prima.
1/4
1/4
Quindi in considerazione del fatto che 1/2 del foglio e i 2/4 dello stesso rappresentano la stessa
parte, queste risultano equivalenti.
Potremo ottenere altre frazioni equivalenti alle precedenti se continueremo ad effettuare sul foglio
ulteriori piegature.
Così 1/2, 2/4, 4/8 ... sono frazioni equivalenti.
Algebricamente per passare da 1/2 a 2/4 o a 4/8, è sufficiente moltiplicare numeratore e
denominatore per uno stesso numero (diverso da zero).
Es.
1
2
=
1
1x2
2x2
= 2
4
1x 4
4
=
=
2
2x 4
8
1
1x 5
5
=
2
=
2x 5
10
2/4 ; 4/8 ; 5/10 ; ... sono tutte frazioni equivalenti ad 1/2.
Con procedimento inverso, potremo dividere numeratore e denominatore per uno dei loro divisori
comuni, ottenendo frazioni equivalenti a quella data.
Dividendo numeratore e denominatore per il loro M.C.D. ridurremo la frazione ai minimi termini.
La frazione oltre ad essere un simbolo che esprime il concetto di parte di una quantità, rappresenta
anche i numeri decimali.
Con la frazione infatti, si suole rappresentare una operazione, la divisione tra il numeratore
(dividendo) e il denominatore (divisore), la linea di frazione rappresenta il simbolo di divisione.
Riduzione delle frazioni allo stesso denominatore
Quando e perché bisogna ridurre le frazioni allo stesso denominatore?
a) Le frazioni che non hanno lo stesso denominatore non sono facilmente confrontabili; per
esempio, a prima lettura quanti saprebbero dire quale tra 4/7 e 3/5 sia la frazione
maggiore?
Invece, frazioni come 2/3,
7/3,
1/3 sono tutte composte da terzi di unità, e quindi più
facilmente confrontabili, infatti esse sono tanto più grandi quanto lo sono i loro numeratori.
Quindi per confrontare le frazioni occorre ridurle allo stesso denominatore (minimo
comune multiplo).
b) Per addizionare o sottrarre le frazioni tra loro.
Dover ad esempio sommare i 2/3 e i 4/5 di una certa quantità può risultare in un primo
momento non semplicissimo, se consideriamo invece frazioni equivalenti ad esse:
10/15 e 12/15, diremo subito che la loro somma è 22/15
Come si riducono le frazioni allo stesso denominatore?
a) Si calcola il m.c.m. dei denominatori che diventa denominatore di ogni frazione.
b) I precedenti denominatori risultano pertanto moltiplicati per un certo numero ( dato
dal rapporto tra il m.c.m. e il precedente denominatore); dovendo ottenere frazioni
equivalenti, sarà sufficiente moltiplicare i numeratori per lo stesso numero.
Operazioni con le frazioni
addizione e sottrazione
Per addizionare e (o) sottrarre delle frazioni, bisogna prima ridurle allo stesso denominatore e poi
sommare e (o) sottrarre i nuovi numeratori.
Es.
denominatori uguali
3
1
+
5
3 + 1
=
4
=
5
m.c.m.(5 ; 5) = 5
5
5
un denominatore è multiplo dell'altro
m.c.m. (5 ; 10) = 10
3
1
6
+
5
+ 1
=
7
=
10
10 (*)
10
10 : 5 = 2
2x3=6
10: 10 = 1
1x1=1
i denominatori sono primi tra loro
2
5
+
3
8
+ 15
=
4
23
=
12
12
m.c.m. (3 ; 4) = 12
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
4x2=8
3 x 5 = 15
i denominatori hanno divisori in comune
3
7
+
6 + 35
=
41
=
m.c.m. (10 ; 4) = 20
20 : 10 = 2
2x3=6
20 : 4 = 5
5 x 7 = 35
10
4
20
20
moltiplicazioni fra frazioni
Il prodotto di due o più frazioni è uguale ad un'altra frazione che avrà per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Es.
3
5
15
x
2
N.B.
=
7
14
Prima di eseguire i prodotti indicati, al fine di evitare calcoli a volte complessi, potrà
risultare utile, quando è possibile, ridurre(semplificare) le frazioni ai minimi termini
operando, se necessario, anche a incrocio (numeratore con il denominatore di una
seconda frazione.
divisioni fra frazioni
Per eseguire la divisione tra due frazioni si deve moltiplicare la prima frazione con il reciproco della
seconda frazione.
Es
3
4
:
2
3
=
5
5
x
2
15
=
4
8
Potenza di una frazione
Per eseguire la potenza di una frazione si deve elevare, a seconda di quanto indica l'esponente, sia il
numeratore che il denominatore.
Le frazioni e i numeri decimali
La frazione oltre ad essere un simbolo che esprime il concetto di " parte di una quantità",
rappresenta anche i numeri decimali.
La frazione infatti, rappresenta una operazione, la divisione, tra il numeratore (dividendo) e il
denominatore (divisore), la linea di frazione sta per il simbolo di divisione.
Vediamo ora come trasformare una frazione in numero decimale e viceversa trovare la frazione
generatrice del numero decimale.
Trasformazione di un numero decimale in una frazione
La frazione generatrice di un numero decimale avrà per:
numeratore il numero stesso, omettendo però sia la virgola che gli zeri che eventualmente
precedono la prima cifra non nulla, perché trascurabili.
per denominatore il numero 10
100
1000
...., a seconda di quante cifre decimali sono
presenti nel numero da trasformare, dopo la virgola.
Sarà conveniente poi ridurre la frazione ottenuta ai minimi termini.
Trasformazione di una frazione in numero decimale
Abbiamo già detto che la frazione rappresenta una divisione tra il numeratore ed il denominatore,
quindi, per trasformare una frazione in un numero decimale sarà sufficiente eseguire tale
operazione.
Es.
5
= 1,125
la divisione ( 5 : 4 ) ha dato per resto zero
4
N.B. Non sempre però è possibile convertire esattamente una frazione in un numero decimale.
Infatti se consideriamo la frazione
22
7
la divisione 22 : 7 potrà essere proseguita indefinitamente, ma non si otterrà mai zero per
resto.
I valori calcolati
3,1
3,14
3,142
3,1428
............
sono valori approssimati ad un decimo, un centesimo ..., ma nessuno di essi esprime
esattamente il valore della frazione indicata.
Per questo motivo quando si dovrà operare una somma o differenza tra un numero decimale ed una
frazione, al fine di ottenere un risultato, più preciso, converrà trasformare il numero decimale in
frazione e non viceversa.
Numeri decimali periodici
Tornando alle frazioni non esattamente convertibili in numero decimale, bisogna dire che a volte la
cifra o le cifre che si ripetono nel quoziente eseguendo la divisione siano sempre la stessa o le
stesse.
Es.
5
=
0,45 45 45...
=
0,58 3333...
11
7
12
I numeri in grassetto
0,45 45 45... ;
0,58 3333... sono detti numeri periodici.
La cifra o il gruppo di cifre che si ripete prende il nome di periodo.
Il periodo può essere semplice, 0,45 45 45 ... quando comincia subito dopo la virgola o composto
quando è preceduto da altre cifre, dette irregolari, ( vedi quelle in grassetto) 0, 58 3333.
Le cifre che precedono il periodo si chiamano antiperiodo.
Un numero periodico si indica o racchiudendo il periodo tra parentesi tonda o segnando
superiormente le cifre del periodo con una linea.
Es
0,45 45 45 ...
0, (45)
oppure 0, 45
0, 58 333...
0, 58 (3) oppure 0, 58 3
Frazione generatrice di un numero periodico
La frazione generatrice di un numero periodico ha per numeratore il numero decimale completo,
privato della virgola, diminuito dell'antiperiodo (cifra o gruppo di cifre che precedono il periodo) e
per denominatore tanti 9, quante sono le cifre del periodo, a cui si affiancano tanti 0, quante sono
le cifre interposte tra la virgola e la prima cifra del periodo.
Es.
2,(3) = 23 - 2
21
=
9
7
=
9
3
2,4(52) = 2452 - 24
2428
=
990
1214
=
990
495
I PROBLEMI PIU' RICORRENTI
CON LE FRAZIONI
IL PROBLEMA COMUNE A TUTTI I CASI CHE ESAMINEREMO SARANNO TUTTI DEL
TIPO a = 3/5 di b
1° Caso
Calcolare i 3/5 del numero 25
La frazione in questione è 3/5 , ma avremmo potuto avere numeratore e denominatore qualsiasi
Il numero (in questo caso 25) lo chiamiamo, ad esempio, b. Anziché il numero avremmo
potuto avere un segmento o qualsiasi altra cosa
La risposta o meglio il risultato lo indichiamo con a
Riprendendo il concetto di frazione, sappiamo che occorre dividere il numero b in 5 parti uguali,
quindi 25 : 5, il quoto è 5; abbiamo cioè diviso il numero 25 in cinque parti uguali, ciascuna delle
quali ha valore 5; le parti da considerare sono tre, quindi 5 x 3 = 15.
Risposta al problema è a = 15
5
5
5 x 3 = 15
Regola
5
5
5
In questo tipo di problema è noto b. Bisogna dividere b in tante parti quante ne indica il
denominatore e moltiplicare il risultato ottenuto per il numeratore.
2° Caso
Calcolare un numero sapendo che i suoi 3/5 è 15
In questo caso è noto a , il numero b va sempre diviso in 5 parti uguali e tre di queste parti hanno
per totale 15, essendo le parti uguali, ognuna di queste sarà chiaramente di 5, ed essendo le parti
tutte e cinque uguali l'intero numero sarà 5 x 5 = 25
5
5
5
15
Il numero richiesto è 25.
Regola
In questo tipo di problema è noto a. Bisogna dividere a in tante parti quante ne indica il numeratore
e moltiplicare il risultato ottenuto per il denominatore
3° Caso Calcolare due numeri a e b, nota la loro somma, ad esempio 56, sapendo che a = 3/5 di b
Rappresentiamo i due numeri con due segmenti
a
b
Dividiamo b in 5 parti; a sarà costituito da tre parti uguali a quelle di b, avremo così tradotto il
significato della relazione a = 3/5 di b
Il problema fa riferimento alla somma dei due numeri; le parti in cui sono state divisi ipoteticamente
i due numeri sono in tutto 5 + 3 = 8
La somma delle 8 parti è 56, una delle parti sarà 56 : 8 = 7
Il numero a ha tre di parti tutte uguali a 7, quindi a = 3 x 7 = 21
Il numero b ha cinque di parti tutte uguali a 7, quindi a = 5 x 7 = 35
Regola
Se non si conosce il valore di a, né quello di b, ma è nota la loro somma, si deve dividere detta
somma per il numero ottenuto sommando il numeratore ed il denominatore. Moltiplicando il quoto
ottenuto per il numeratore si otterrà a, moltiplicando detto quoto per il denominatore si otterrà b.
4° Caso
Calcolare due numeri a e b, nota la loro differenza, ad esempio 14, sapendo che
a = 3/5 di b
Rappresentiamo i due numeri con due segmenti
a
b
Dividiamo b in 5 parti; a sarà costituito da tre parti uguali a quelle di b, avremo così tradotto il
significato della relazione a = 3/5 di b
Il problema fa riferimento alla differenza dei due numeri; le parti che costituiscono la differenza
sono 2, ciò significa che la somma di queste due parti è 14; quindi una sola parte sarà 14 : 2 = 7.
Le parti che costituiscono a sono tre, quindi 7 x 3 = 21.
a = 21
Le parti che costituiscono b sono 5, quindi 7 x 5 = 35
b = 35
Regola
Se non si conosce il valore di a, né quello di b, ma è nota la loro differenza, si deve dividere detta
differenza per il numero ottenuto sottraendo il numeratore dal denominatore. Moltiplicando il quoto
ottenuto per il numeratore si otterrà a, moltiplicando detto quoto per il denominatore si otterrà b.
N. B
I problemi esaminati possono essere anche risolti diversamente, ricorrendo alle
proporzioni.
LE
PROPORZIONI
I rapporti
6:3
10 : 5
8:4
42 : 21 ......................
sono tutti uguali, a due.
Una serie di rapporti uguali costituiscono una catena di rapporti
6: 3
=
10 : 5
=
8:4
=
42 : 21
=
......................
L'uguaglianza tra una coppia di rapporti dicesi proporzione.
Sono ad esempio proporzioni
6:3
=
10 : 5
10 : 5
=
8:4
I quattro numeri di una proporzione possono chiamarsi
1° termine, 2° termine, 3° termine e 4° termine
estremi il 1° ed il 4° termine, medi il 2° ed il 3° termine
antecedenti il 1° ed il 3° termine, conseguenti il 2° ed il 4° termine
Possiamo dunque dire che quattro numeri formano una proporzione quando il rapporto tra i
primi due è uguale al rapporto tra i secondi due.
Eseguire a mente una divisione non sempre però risulta facile come negli esempi precedenti.
Qualche difficoltà la incontriamo infatti quando il dividendo è più piccolo del divisore (il quoto è
un numero decimale) o quando i numeri da dividere sono a più cifre, o quando il dividendo non è
divisibile per il divisore (il quoto è ancora decimale).
In tal caso, se osserviamo attentamente le proporzioni precedenti, ci renderemo conto che non solo
sono uguali i quoti, ma anche i prodotti tra il 2° ed il 3° termine e 1° e 4° termine.
6 x 5 = 30
6:3
=
10 : 5
3 x 10 = 30
Regola principale detta anche proprietà fondamentale:
Quattro numeri diconsi costituire una proporzione quando il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi.
Questa proprietà ci consente di risolvere anche il problema del quarto proporzionale:
Noti cioè tre termini di una proporzione, e possibile calcolare il 4° termine,
infatti essendo 6 x 5 = 3 x 10,
se dividiamo ambo i membri dell'uguaglianza per uno stesso numero, ad esempio per 5,
l'uguaglianza resta inalterata
6 x 5 = 3 x 10
5
5
dopo aver semplificato al 2° membro
e,
6=3x2
Per cui data la proporzione a : 3 = 10 : 5
se a è il 4° proporzionale dovrà essere 5 x a = 3 x 10
da cui dividendo tutto per 5 , si avrà:
5 x a = 3x 10
5
5
e semplificando a = 3 x 2
6
Regola pratica per trovare il 4° proporzionale
Se il quarto proporzionale è un medio, basta dividere il prodotto dei medi per il medio noto, se
invece il 4° proporzionale è un estremo, occorrerà dividere il prodotto dei medi per l'estremo
noto.
Come si potrà notare, i quattro numeri formano ancora una proporzione se cambiamo di posto i
medi, oppure gli estremi, o ancora, se invertiamo di posto gli antecedenti con i propri conseguenti.
Ciò che abbiamo appena espresso costituiscono alcune delle proprietà delle proporzioni , che
vanno rispettivamente annotate come:
proprietà del permutare i medi
proprietà del permutare gli estremi
proprietà dell'invertire
Vi sono però altre due proprietà anch'esse importanti per la risoluzioni di diversi problemi:
Proprietà del comporre o del componendo
proprietà dello scomporre o dello scomponendo
Queste ultime affermano, come si può facilmente constatare, che la somma (la differenza) tra il
primo ed il secondo termine sta al primo oppure al secondo come la somma (la differenza) tra il
terzo ed il quarto termine sta al terzo oppure al quarto.
Nel caso della proprietà dello scomporre, se gli antecedenti sono minori dei conseguenti, si dovrà
prima applicare alla proporzione la proprietà dell'invertire e poi eseguire quella dello scomporre,
altrimenti quest'ultima non è eseguibile con nell'insieme dei numeri naturali.
I PROBLEMI
risolvibili con l'ausilio
DELLE PROPORZIONI
I seguenti problemi sono stati già affrontati e risolti quando abbiamo trattato le frazioni, ed in quella
occasione concludemmo che gli stessi avrebbero potuto essere risolti con l'ausilio delle proporzioni,
vediamo come:
IL PROBLEMA COMUNE A TUTTI I CASI CHE ESAMINEREMO SARANNO TUTTI DEL
TIPO a = 3/5 di b
osservando che possiamo dividere ambo i membri di una uguaglianza per uno stesso numero
diverso da zero, lo stesso problema può scriversi a = 3 di b
b
5
b
quindi dopo aver semplificato:
a:b=3:5
1° Caso
( 1)
Calcolare i 3/5 del numero 25
Essendo noto b = 25
Da cui a = 25 x 3
5
2° Caso
a : 25 = 3 : 5
= 15
Calcolare un numero sapendo che i suoi 3/5 è 15
In questo caso è noto a , la ( 1 ) diventa
15 : b = 3 : 5
da cui b = 15 x 5
3
= 25
3° Caso Calcolare due numeri a e b, nota la loro somma, ad esempio 56, sapendo che a = 3/5 di b
Il problema può scriversi:
a : b = 3 : 5
e applicando la proprietà del comporre
(a+b):a=(3+5):3
56 : a = 8 : 3
a = 56 x 3 = 21
8
b può ricavarsi per differenza o ripetendo i passaggi precedenti con le dovute correzioni.
4° Caso
Calcolare due numeri a e b, nota la loro differenza, ad esempio 14, sapendo che
a = 3/5 di b
Il problema può sintetizzarsi come segue:
a:b=3:5
essendo a < b, applichiamo innanzitutto la proprietà dell'invertire
b:a=5:3
a questa applicando la proprietà dello scomporre
(b-a):a=(5-3):3
14 : a = 2 : 3
a = 14 x 3 = 21
2
b può ricavarsi sommando la differenza ed a oppure ripetendo i passaggi precedenti con le dovute
correzioni.