Un rombo ha centro nell`origine degli assi cartesiani e i vertici su di

Un rombo ha centro nell'origine degli assi cartesiani e i vertici su di essi. Si sa che un lato
appartiene alla retta di equazione 4x+3y−12=0 . Verifica che il raggio della circonferenza
12
iscritta nel rombo misura
. Determina la misura delle diagonali e le equazioni delle rette sulle
5
quali giacciono gli altri lati del rombo.
Disegniamo per prima la figura
Osserviamo che un rombo ha i lati congruenti e in questo rombo il centro è l'origine degli assi. Di
conseguenza i vertici sono i punti in cui la retta interseca gli assi, e le loro coordinate sono
soluzioni dei seguenti sistemi
{4x+3y−12=0
x=0
ossia A(0;4)
{4x+3y−12=0
y=0
ossia B(3;0)
e
da cui i vertici sono C(0;-4) e D(-4;0)
Calcoliamo l'equazione della retta per BC
y−0 0+4
=
=1
x−3
3
e quindi
3y=4x−12
e quindi
4
y= x−4 .
3
Calcoliamo l'equazione della retta per CD
y+4
4
=−
x
3
e quindi
4
y=− x−4
3
Infine, calcoliamo l'equazione della retta per AD
4
y= x+4
3
12
, osserviamo che questo
5
coincide con l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo AOB, che si calcola con la
formula
Per verificare che il raggio della circonferenza inscritta misura
OB⋅OA
AB
siccome le misure dei cateti di AOB sono una terna pitagorica,
12
all'ipotenusa vale
.
5
AB=5 e quindi l'altezza relativa
Infine, si vede subito che le diagonali del rombo misurano rispettivamente 6 e 8
Graficamente