Congetture e dimostrazioni sui quadrilateri con GeoGebra (Sasso)

Matematica in laboratorio
Unità 14
Attività guidate
Attività 1
GeoGebra
Risorse digitali
Sia ABCD un quadrilatero. Indica con E, F, G, H rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC,
CD e AD. Che tipo di quadrilatero ti sembra EFGH? Sai dimostrarlo? Il quadrilatero EFGH
può essere un rombo? Può essere un rettangolo? Può essere un quadrato?
Se hai difficoltà a svolgere
le attività guidate,
fai riferimento ai file
di GeoGebra disponibili.
A. COSTRUZIONE
B. ESPLORAZIONE
1. Trascina i vertici del quadrilatero
ABCD; quale ti sembra essere
la natura del quadrilatero
EFGH?
2. È possibile scegliere ABCD
in modo che EFGH sia un rombo?
E in modo che sia un rettangolo?
E in modo che sia un quadrato?
Informatica – GEOGEBRA
1. Costruisci un quadrilatero ABCD, con lo strumento Poligono.
2. Determina i punti medi dei lati del quadrilatero, con lo strumento Punto medio o centro.
3. Costruisci il quadrilatero EFGH.
Matematica in laboratorio
Il teorema di Varignon
C. DIMOSTRAZIONE
Prova
EFGH
1.
2.
a dimostrare la congettura che hai formulato sulla natura del quadrilatero
(tale natura è stabilita dal teorema di Varignon) seguendo questi passi:
traccia le diagonali del quadrilatero ABCD;
in base al teorema dei punti medi applicato al triangolo ACD puoi dedurre che
HG k ..... e HG ffi .....;
3. analogamente puoi applicare il teorema dei punti medi al triangolo ABC;
4. a questo punto dovresti riuscire facilmente a concludere.
Puoi infine stabilire esattamente quali proprietà devono avere le diagonali del quadrilatero ABCD affinché EFGH sia un rombo, un rettangolo o un quadrato.
D. ANALISI DI ALCUNI CASI PARTICOLARI
In base ai risultati che hai dimostrato al punto precedente, deduci qual è la natura del
quadrilatero EFGH nel caso in cui il quadrilatero ABCD sia: un rombo; un rettangolo;
un quadrato.
Attività 2
GeoGebra
Costruire rombi
Dati due punti A e B e una retta r , passante per B, costruisci un rombo ABCD che abbia un
lato coincidente con AB e il lato BC sulla retta r .
A. COSTRUZIONE
1. Crea due punti A e B (con lo strumento Nuovo punto).
2. Crea una retta passante per B (ma non per A) e chiamala r. Devi utilizzare lo
strumento Retta per due punti, facendo clic prima sul punto B e poi su un altro
punto P per cui vuoi che passi la retta.
La matematica a colori – Volume 1 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
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Unità 14
Quadrilateri
Matematica in laboratorio
3. Utilizzando lo strumento Segmento tra due punti, traccia il segmento AB, primo lato del rombo che devi costruire.
4. Osserva che il vertice C del rombo deve appartenere alla retta r ed essere tale
che BC ffi ..... Pertanto puoi costruire C come uno dei due punti d’intersezione
della retta r con la circonferenza che ha centro in ..... e passa per .....
5. Infine, per determinare D, ricorda che un rombo è un particolare parallelogramma, quindi puoi individuare D come punto d’intersezione della retta passante per A e parallela a ..... e della retta passante per ..... e parallela a .....
6. Crea infine il poligono ABCD.
Informatica – GEOGEBRA
b. Esplorazione
Sottoponi il quadrilatero ABCD al test del trascinamento. Quali vertici puoi trascinare? Perché? Il quadrilatero ABCD si mantiene un rombo? Prova a verificarlo misurando le lunghezze dei suoi lati.
c. Dimostrazione
Dimostra che il quadrilatero ABCD ottenuto con la costruzione descritta sopra è un
rombo.
d. Approfondimento
Invece del punto C, considera l’altro punto d’intersezione della circonferenza con la
retta r, chiamiamolo C0 , e costruisci il rombo ABC0 D0 . Il rombo ottenuto è congruente
al rombo ABCD?
Dati due punti A e B e una retta r, passante per B, quanti rombi si possono costruire
aventi un lato coincidente con AB e il lato BC sulla retta r?
Attività proposte
1 Disegna un segmento AC e una retta r, passante per A (ma non per C). Costruisci un
rombo avente una diagonale coincidente con AC e il lato AB sulla retta r.
2
Disegna nel piano tre punti P, Q e R non allineati. Costruisci un triangolo ABC, i cui
lati abbiano P, Q e R come punti medi. Giustifica, in base ai teoremi che hai studiato, la
costruzione effettuata.
(Suggerimento: ricorda il teorema dei punti medi)
La matematica a colori – Volume 1 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
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