DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA`

DISTRIBUZIONI
TEORICHE DI
PROBABILITA’
DISTRIBUZIONI TEORICHE DI
PROBABILITA’
DEFINIZIONI:




Qualsiasi caratteristica misurabile è denominata variabile. Se una
variabile può assumere numerosi valori tali che qualsiasi risultato è
determinato dal caso, essa è nota come variabile casuale
Una V.C. è un numero X che assume un valore in R, determinato sulla
base di un evento E che si è presentato in seguito all’esperimento al
quale si riferisce. Tale numero è assunto da X con probabilità P
Una distribuzione di probabilità è una funzione che sintetizza la
relazione tra i valori di una variabile casuale e la probabilità che
questi si presentino
Una distribuzione di probabilità applica la teoria della probabilità per
descrivere il comportamento di una variabile.
…
 La conoscenza della distribuzione di probabilità di una
variabile casuale fornisce ai clinici e ai ricercatori uno
strumento potente per riassumere e descrivere il set di
dati e per trarre conclusioni a partire dal campione della
popolazione studiata
 Una distribuzione di probabilità può essere
rappresentata con una tabella, un grafico o una formula
OSSERVAZIONI
 Una distribuzione è analoga ad una distribuzione di frequenze
relative , ma mentre questa si ricava da un campione di
osservazioni estratte da un popolazione, una distribuzione di
probabilità è in relazione alla popolazione di tutti i possibili
risultati
 Una distribuzione continua non permette la stima della
probabilità di estrarre un particolare valore, ma solo quelli
compresi in un dato intervallo.
Per esempio, nella distribuzione delle altezze di una
popolazione di studenti, non è possibile stimare la probabilità
di avere un individuo alto esattamente 176,000 cm ma quella di
avere un individuo tra 180 e 190 centimetri
– La forma di una distribuzione di probabilità continua è
usualmente definita da una curva senza sbalzi, mentre per una
variabile discreta la probabilità è definita per i valori puntuali
della variabile , e il grafico della distribuzione rassomiglia ad
una serie di impulsi
– La forma di una distribuzione può essere simmetrica rispetto
al valore centrale o ci può essere una coda più lunga da un lato
piuttosto che da un altro. Se la coda è a sinistra (destra) la
distribuzione viene detta asimmetrica a sinistra (destra)
- Alcune distribuzioni teoriche di probabilità comunemente
usate per descrivere dati sanitari sono: Distribuzione
Gaussiana, la distribuzione log-normale, la distribuzione
Binomiale e la distribuzione di Poisson
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ PER
VARIABILI CONTINUE
Nel caso si osservino Variabili continue le distribuzioni permettono di
determinare le probabilità associate a determinati “range” di valori
della variabile (Distribuzione Normale)
V.C. continua: Livello di colesterolo nel sangue
La Distribuzione Gaussiana
•Le distribuzioni normali sono una famiglia di curve simmetriche a
forma di campana e unimodali (moda media e mediana coincidono).
23
L’area
totale
sotto la
curva è 1
19
15
19
12
5
10
12
3
3
1
1
0
Frequency
20
Densità di Probabilità
25
•Hanno tutte la stessa forma ma sono caratterizzate (e
completamente individualizzate) dai due valori: media e varianza
N(μ,σ2).
0
2
4
6
peso alla nascita
8
10
1. Caratteristiche di una distribuzione
Normale

La curva Normale è Unimodale e simmetrica rispetto alla
sua media (μ)

Frequenza relativamente più elevata dei valori centrali e
frequenze progressivamente minori verso gli estremi.

La media, la mediana e la moda della distribuzione
coincidono

La Deviazione Standard, rappresentata da , indica la
quantità di dispersione delle osservazioni intorno alla media

I parametri μ e σ definiscono in modo completo la curva
2. Caratteristiche di una distribuzione
Normale
• La funzione di densità è simmetrica rispetto alla media: cresce
da zero fino alla media e poi decresce fino a +∞. Ha due flessi:
il primo, ascendente, nel punto μ-σ; il secondo, discendente, nel
punto μ+σ.
• Se μ varia e σ rimane costante, si hanno infinite curve normali
con la stessa forma e la stessa dimensione, ma con l'asse di
simmetria in un punto diverso. Quando due distribuzioni hanno
media differente, è possibile ottenere l'una dall'altra
mediante traslazione o trasformazione lineare dei dati.
• Se invece μ rimane costante e σ varia, tutte le infinite curve
hanno lo stesso asse di simmetria; ma hanno forma più o meno
appiattita, secondo il valore di σ.
Le due curve della figura 11 hanno media μ identica e
deviazione standard σ differente.
Le due curve della figura 12 hanno deviazione standard σ
identica e media μ differente.
In Figura 13 sono riportate 2 distribuzioni normali che
differiscono sia per la media sia per la dispersione dei dati
3. Caratteristiche di una distribuzione
Normale

La probabilità che un valore estratto a caso da una
N(μ,σ2) sia compreso nell’intervallo (μ -σ , μ+σ) è pari a
0.683 e che sia compreso tra (μ -2σ , μ+2σ) è pari a 0,954

Il 95% dei valori centrali di una distribuzione Normale
cadono nell’intervallo (μ - 1.96σ , μ+1.96σ) ed il 99%
nell’intervallo (μ – 2.58σ , μ+2.58σ)
AREE SOTTO LA CURVA NORMALE COMUNEMENTE USATE
Poiché i valori di μ e σ dipendono dal particolare problema in
considerazione le probabilità di trovare dei valori in un
determinato intervallo, anche diverso da quelli comunemente
usati, e descritti nel grafico precedente, diventa complicato.
Non ci sono tavole di probabilità per tutti i possibili valori di μ e σ
, esiste una tavola unica che può essere usata per tutte le
variabili Normali. Tale tavola si riferisce ad una particolare
distribuzione: la ditribuzione Normale Standardizzata.
La distribuzione normale standardizzata o normale ridotta, si
ottiene mediante il cambiamento di variabile dato da
La standardizzazione è una trasformazione che consiste nel:
- rendere la media nulla (μ = 0), poiché ad ogni valore viene
sottratta la media;
- prendere la deviazione standard σ come unità di misura (σ = 1)
della nuova variabile.
La distribuzione normale ridotta viene indicata con N(0,1), che
indica appunto una distribuzione normale con media 0 e varianza
uguale a 1.
In ogni distribuzione Normale con media μ e d.s. σ, la probabilità
tra x1 e x2 è la stessa che tra z1 e z2 nella distribuzione Normale
Standardizzata, dove
z1=(x1- μ)/ σ
z2=(x2- μ)/ σ
Caratteristiche di una Distribuzione Normale
Standard
In una Distribuzione Normale Standardizzata:
•La probabilità che un valore estratto a caso sia compreso tra 1 e 1 è pari a 0,683 e che sia compreso tra -2 e 2 è pari a 0,954
•Il 95% dei valori centrali di una distribuzione Normale
standard cadono nell’intervallo (-1.96 ,+1.96) ed il 99%
nell’intervallo (– 2.58 , +2.58)
•Tutti i valori di probabilità per z sono riportati in una tavola,
detta tavola di probabilità
•I valori nel corpo della tabella mostrano l’area sotto la curva
N.S. alla destra di z. Queste sono le probabilità di trovare un
valore uguale o superiore a z
Area a
dx di Z
Uso della tavola di Probabilità Gaussiana
Due sono gli usi della tavola di probabilità:
1)
2)
Definito un intervallo di valori di X, serve per
calcolare la probabilità che un valore x cada al suo
interno
Definita una probabilità, serve per calcolare
l’intervallo dei valori X che corrisponde a tale
probabilità.
Esercizio
Si consideri una popolazione con altezza distribuita in
maniera Gaussiana con media (µ) =172,5 cm e deviazione
standard (σ) = 6,25 cm.
Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto
da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190?
Z = (190 – 172,5) / 6,25 = 2,8
 Dalle tavole trovo p= 0,00256, quindi la probabilità
di trovare un soggetto più alto di 190cm è dello 0,2%
Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale
popolazione con un’altezza compresa tra cm 165 e175?
Z1= (165 – 172,5) / 6,25 = -1.2
Z2= (175 – 172,5) / 6,25 = 0.4
P(Z1)=0.115
P(Z2)=0.345
P(165≤ X ≤ 175) = P(-1.2≤ Z ≤ 0.4) =
1- [0.115+0.345]=0.54
Qual è quel valore di altezza che delimita il 5% superiore della
distribuzione?
p=0.05  z =1.645
z =(x-172.5)/6.25  1.645=(x-172.5)/6.25
x = 172.5+(6.25*1.645)
x = 182.78
Circa il 5% della popolazione in studio ha un’altezza superiore
di 182.78 cm
LA DISTRIBUZIONE LOG NORMALE
Quando i dati hanno una distribuzione differente dalla normale, spesso una
semplice trasformazione riconduce ad una distribuzione normale.
E' il caso delle trasformazioni con la radice quadrata o cubica, oppure con
il reciproco, l’elevamento a potenza o con i logaritmi.
Nel caso in cui una distribuzione abbia una lunga coda a destra
(asimmetrica a destra), si ottiene una distribuzione più simmetrica, se
invece della distribuzione originale sui dati (x) si considera la distribuzione
dei dati trasformati in logaritmi (y = log(x))
Nel caso in cui la distribuzione della variabile trasformata
(y) risulti Normale, la distribuzione dei dati
originali (x) è detta log-Normale
VANTAGGI DELLA TRASFORMAZIONE
LOG
1. Molte tecniche statistiche inferenziali si basano
sull’assunzione di “normalità dei dati”. Anche se tali tecniche
sono “robuste” verso le deviazioni dalla normalità, forti
asimmetrie porterebbero a stime distorte
2. Se una variabile ha una d.s. che è proporzionale alla sua
media, la sua trasformazione log, y = log(x) dà luogo a una
variabile y con d.s. costante al variare della media
3. La trasforamzione logaritmica linearizza le curve che hanno
una forma esponenziale , i dati trasformati saranno più
semplici da analizzare ed interpretare
SVANTAGGI DELLA TRASFORMAZIONE
LOG
1. Il logaritmo di 0 è -∞, il che causa problemi quando sono
presenti dei dati con un numero limitato di zeri.
Un’approssimazione può essere realizzata assegnando ai
valori zero la metà del valore della più piccola osservazione.
2. Non esiste il logaritmo di un numero negativo
3. L’interpretazione dei risultati su scala logaritmica è
difficile e quasi sempre richiede l’uso dell’anti logaritmo
DATI LOG-TRASFORMATI
200
Frequency
2000
0
0
100
1000
300
400
anadmf_def_new
500
-2
600
0
2
anadmf_def_new_log
square
0
0
.1
.2
.02 .04 .06 .08
.3
cubic
0
50
100
150
200
4
6
0
.3
identity
.2
200
.1
100
0
0
Density
Frequency
300
3000
400
DATI GREZZI
-2
0
2
anadmf_def_new_log
Histograms by transformation
10
20
30
40
4
6
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ PER
VARIABILI DISCRETE
Nel caso si osservino Variabili discrete le distribuzioni specificano tutti
i possibili risultati della variabile casuale insieme alla probabilità che
ciascuno di essi si verifichi
V.C. discreta: Numero di figli maschi in famiglie con 4 figli residenti in
Toscana nel 1991
#
MASC
HI
FR
0
0.05
1
0.23
2
0.37
3
0.28
4
0.07
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (1)
Consideriamo un esperimento con solo due tipi di risultati possibili (es: Successo (1) - Non
Successo (0)) rispettivamente con probabilità p e q=1-p.
Ripetendo n volte l'esperimento in modo che le ripetizioni diano luogo a risultati
indipendenti la somma delle realizzazioni 0,1 coinciderà con il numero di successi k.
Tale numero è una nuova variabile casuale (o meglio aleatoria), somma di n variabili casuali
bernoulliane indipendenti
La v.c. Binomiale è definita dalla seguente funzione di probabilità :
tale funzione esprime la probabilità della concomitanza di k successi
(indipendentemente dall'ordine) che si alternano agli n - k insuccessi.
Il coefficiente binomiale:
(coefficienti binomiali)
esprime le distinguibili maniere in cui possono essere ripartiti i k successi negli n
tentativi, ed, ovviamente,
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (2)
per il binomio di Newton vale:
k è un numero intero non negativo (k=0,1,2,3,...,n)
p è un valore compreso tra 0 e 1 esclusi (0<p<1)
Esempio 1. Determinare la probabilità che su 12 lanci di una moneta buona si
ottengano esattamente 8 teste.
Si tratta di un esperimento di Bernoulli in cui il “successo” coincide con “esce
T”; quindi p =1/2 e q = 1/2
e si ha:
LE DISTRIBUZIONI t di STUDENT e Χ2
(chi-quadrato)
Le distribuzioni t, Χ2 e F non sono distribuzioni per dati
osservati ma sono distribuzioni che si usano per calcolare
intervalli di confidenza ed eseguire test di significatività
Queste distribuzioni sono utili quando si considerano
distribuzioni di probabilità di certe STATISTICHE calcolati su
campioni casuali estratti da popolazioni Gaussiane
La distribuzione t si usa per fare inferenza sulle medie quando
non si conosce la deviazione standard della popolazione
La distribuzione Χ2 si utilizza per fare inferenza su frequenze
osservate e su conteggi