Compito del 30 gen 2002

a
Facoltà di Ingegneria
2 prova intracorso di Fisica I
30.01.02
Compito A
(*) Esercizio n.1
Una carrucola, assimilabile ad un disco di massa M=3.27 kg e raggio R=70 cm, è libera di ruotare intorno ad un asse
orizzontale passante per il suo centro O. Un filo inestensibile e di massa trascurabile collega la carrucola ad un
blocchetto di massa m=200g che può scivolare lungo un piano
inclinato di angolo θ=53° (vedi figura). Il filo si svolge intorno alla
carrucola facendola ruotare intorno all’ asse fisso in O. La forza di
attrito tra il blocchetto ed il piano inclinato vale f=0.50N.
O
M
Il blocco viene quindi lasciato scivolare (da fermo).
Calcolare:
Il momento d’ inerzia della carrucola rispetto all’ asse
m
di rotazione passante per O
θ=53°
Il modulo dell’ accelerazione angolare α della carrucola
Il modulo dell’ accelerazione del blocco m
Il modulo della tensione T del filo
Il modulo della velocità del blocco dopo che esso è
scivolato di 100 cm lungo il piano inclinato, essendo partito da fermo
Rispondere quindi alle seguenti domande:
1. Il momento d’ inerzia della carrucola rispetto ad un asse passante per il suo centro vale
A. MR 2
3
MR 2
B.
2
3
C.
MR 2
2
1
D.
MR 2 (*)
2
2. Il modulo dell’ accelerazione angolare α della carrucola vale
rad
A. 0.53 2 (*)
s
rad
B. 0.012 2
s
rad
C. 24.61 2
s
rad
D. 55.69 2
s
3. Il modulo dell’ accelerazione a del blocco m vale
m
A. 107.1 2
s
m
B. 1.05 2
s
m
C. 0.37 2 (*)
s
m
D. 5.61 2
s
4. Il modulo della tensione T del filo vale
A. 10.3 N
B. 47.1 N
C. 22.8 N
D. 0.6 N (*)
5. Il modulo della velocità del blocco m, dopo che, partendo da fermo, è sceso di d=100 cm, risulta
m
A. 0.86
(*)
s
m
s
m
C. 12.01
s
m
D. 0.04
s
B. 3.24
(*) Esercizio n.2
Un disco omogeneo di massa m e raggio R è libero di ruotare intorno ad un asse
orizzontale passante per il suo centro C. Un piccolo oggetto, molto denso ed anch’
esso di massa m, attaccato al bordo del disco, viene innalzato al punto più alto (punto
A). L’ instabile sistema (disco+oggetto) viene quindi rilasciato.
Calcolare il modulo della velocità angolare del sistema nell’ istante in cui il piccolo
oggetto passa per la posizione più in basso (punto B).
Nello stesso istante (quando l’ oggetto è in B), un pistone P viene spinto contro il
disco con una forza costante F normale alla superficie del disco, agendo da freno fino
a quando il disco si ferma. Sia µ il coefficiente di attrito tra il pistone e il disco.
A
F
P
C
A partire dall’ istante in cui il freno viene messo in azione (piccolo oggetto in B),
calcolare il tempo impiegato dal disco per fermarsi (si trascuri per questa parte del
moto il momento della forza peso del sistema rispetto a C) . Detto inoltre θ l’ angolo
di cui il disco è girato in questo tempo, calcolare il lavoro compiuto dalla forza frenante ed il valore dell’ angolo θ.
6.
7.
8.
9.
B
Durante la rotazione da A a B del disco e del piccolo oggetto ad esso attaccato, si conserva
A. L’ energia meccanica (*)
B. Il momento angolare rispetto al centro C
C. La quantità di moto
D. Nessuna quantità
Il modulo della velocità angolare del sistema disco+oggetto nell’ istante in cui l’ oggetto passa per la
posizione più bassa (punto B) vale
A.
R rad
g s
B.
8 g rad
(*)
3R s
C.
5 g rad
7R s
D.
R rad
6g s
Il momento meccanico della forza d’ attrito esercitata dal pistone (rispetto al centro C) ha modulo
A. µF
R
2
C. µ FR 2
D. µ FR (*)
Il tempo impiegato dal disco per fermarsi è
m
6 gR (*)
A.
µF
B.
µF
B.
1
µF
C.
F
µ
gR
3
gR
R
D.
mR
µF
g
10. Il lavoro compiuto dalla forza frenante, quando il disco gira di un angolo θ, è
A. RFθ
B. Fθ
C. µRFθ (*)
µF θ
D.
R
11. L’ angolo θ vale
2mg
(*)
A.
µF
B.
(6
C.
(
D.
)
2 − 2 µF
3
mg
)
2 − 1 mg
2
F
1 F
2 mg
Esercizio n.3
m
Una particella di massa m e velocità v urta elasticamente l’ estremo di una sbarra sottile di massa
v
M e lunghezza L, posta su un piano orizzontale privo di attrito. In seguito all’ urto, la particella m
si ferma. Calcolare
• il modulo della velocità del centro di massa (CM) della sbarra dopo l’ urto
• il modulo della velocità angolare di rotazione della sbarra intorno al CM dopo l’ urto
• la massa M della sbarra.
• la variazione di energia cinetica della massa m
Rispondere quindi alle seguenti domande
M
12. Nell’ urto si conserva
A. L’ energia cinetica, la quantità di moto ed il momento angolare (rispetto ad un
punto fermo nel piano orizzontale) del sistema particella + sbarra (*)
B. L’ energia cinetica, la quantità di moto ed il momento angolare (rispetto ad un punto solidale con l’
estremo urtato della sbarra) del sistema particella + sbarra
C. L’ energia cinetica, la quantità di moto ed il momento angolare (rispetto ad un punto fermo nel piano
orizzontale) della sola particella
D. L’ energia cinetica, la quantità di moto ed il momento angolare (rispetto ad un punto fermo nel piano
orizzontale) della sola sbarra
13. La velocità del CM della sbarra ha modulo
m
A.
v (*)
M
m
B.
v
M +m
M +m
v
C.
m
D. 0
14. La velocità angolare della sbarra intorno al CM ha modulo
m
A.
v
ML
6m
B.
v
(M + m )L
6m
C.
v (*)
ML
D. 0
15. Il valore della massa M della sbarra è
A. 2m
B. 4m (*)
C. m
D. 3m
16. La variazione di energia cinetica della massa m ha modulo
A. 0
B. mv 2
5
C.
mv 2
3
1
mv 2 (*)
D.
2
Altre domande:
17. Le forze apparenti non derivano dalle interazioni fondamentali ed esistono solo nei sistemi di riferimento non
inerziali
A. Vero (*)
B. Falso
18. Il momento d’ inerzia di un corpo rigido dipende soltanto dalla forma e dalla massa di esso e quindi può essere
considerato, proprio come la massa, una proprietà intrinseca del corpo rigido.
A. Vero
B. Falso (*)
19. Per un sistema di forze a risultante nulla R = 0 il momento non dipende dal polo M o = M o ,
(
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
)
(
)
A. Vero (*)
B. Falso
L’ accelerazione di gravità g di un corpo vicino alla superficie terrestre, misurata in un sistema di riferimento
inerziale, è uguale a quella misurata in un sistema solidale alla Terra
A. Vero
B. Falso (*)
Siano S ed S’ due sistemi di riferimento aventi origine comune ed in moto relativo rotatorio uniforme (S’ ruota
rispetto ad S con velocità angolare costante ω ). Un punto fermo e quindi con accelerazione nulla in S’, ha
accelerazione nulla anche in S
A. Vero
B. Falso (*)
Il moto del centro di massa di un sistema di particelle è determinato dalla somma vettoriale delle forze interne
e delle forze esterne
A. Vero
B. Falso (*)
Se la risultante delle forze esterne su un sistema di particelle è nulla R = 0 , la quantità di moto totale ed il
momento angolare totale rispetto ad un punto fisso in un sistema inerziale si conservano
A. Vero (*)
B. Falso
Il lavoro delle forze interne di un sistema di particelle è sempre nullo a causa del principio di azione e reazione.
A. Vero
B. Falso (*)
Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito tra la ruota ed il piano compie un lavoro uguale alla variazione
di energia cinetica della ruota
A. Vero
B. Falso (*)
In un urto di una particella con un corpo rigido vincolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva
sempre
A. Vero
B. Falso (*)
Una pattinatrice sta eseguendo una piroetta; ad un certo punto, allarga le braccia e in conseguenza di ciò la sua
velocità angolare diminuisce.
A. Vero (*)
B. Falso
Il teorema di Huygens-Steiner dice che il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si
trova a distanza d dal centro di massa del corpo è dato da I = I CM − md 2 dove I CM è il momento di inerzia del
corpo rispetto ad un asse parallelo al primo passante per il centro di massa
A. Vero
(
)
B. Falso (*)
29. La derivata temporale del momento angolare di una particella rispetto ad un polo mobile O, con velocità v o , è
dL
= M − v o × p dove M è il momento della risultante delle forze agenti sulla particella, calcolato
dt
rispetto al polo O, e p è la quantità di moto della particella
A. Vero (*)
B. Falso
30. Un sistema di riferimento che ruota con velocità angolare ω costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’
esso inerziale.
A. Vero
B. Falso (*)
data da
Soluzioni
Esercizio n.1
Il momento d’ inerzia della carrucola rispetto all’ asse di rotazione passante per O
vale
1
1
I = MR 2 = 3.27 ⋅ (0.7) 2 kg m 2 = 0.80kg m 2
2
2
Considerando positivo il moto verso il basso, si ha
Iα = RT
ma = mg cos θ − T − f
a = Rα
da cui
T=
a=
α=
mg cos θ − f
mR 2 + I
mg cos θ − f
2
mR + I
mg cos θ − f
I = 0.6 N
R 2 = 0.37
m
s2
rad
R = 0.53 2
mR 2 + I
s
La velocità del blocco dopo che questo è scivolato di d=100 cm lungo il piano inclinato vale:
m
v 2 − v o2 = 2a ( x − x o ) v = 2ad = 0.86
s
Esercizio n. 2
Prendendo la posizione di B come livello di riferimento dell’ energia potenziale, l’ energia meccanica iniziale (oggetto
in A) del sistema è
E m,i = E k ,i + E p ,i = 0 + (mgR + mg 2R ) = 3mgR
Quando l’ oggetto passa per la posizione B, l’ energia meccanica vale
1
1
3
E m,f = E k ,f + E p,f =
mv 2 + Iω f2 + mgR = mω f2 R 2 + mgR
2
2
4
essendo la velocità dell’ oggetto v = ω f R e I =
1
mR 2 .
2
8g
3R
La pressione del pistone genera, in virtù dell’ attrito, una forza tangenziale che si oppone al moto del disco pari a µF e
Le forze che compiono lavoro (la forza peso) sono conservative e quindi E m,i = E m ,f da cui si ricava ω f =
di momento M = µFR . Dall’ equazione Iα = I
t
dω
= − M (M è un momento frenante), si ha
dt
µFR
2µF
M
M
t = ω0 −
dt = ω 0 −
t
(1)
t = ω0 −
1
I
I
3mR
mR 2 + mR 2
0
2
3mRω f
m
=
6 gR essendo ω 0 = ω f
Il tempo impiegato dal disco per fermarsi si ricava imponendo ω = 0 : τ =
2 µF
µF
Integrando ancora la (1) si ottiene
dω
M
=−
dt
I
ω = ω0 −
τ
θ = ω dt = ω f τ −
0
M 2
τ =ω fτ −
2I
µFR
µF 2
mg
τ 2 =ω fτ −
τ =2
3
mR
µF
1
2 mR 2 + mR 2
2
e quindi il numero di giri fatto dal disco è n =
θ
2π
Il lavoro della forza frenante è
θ
W = M dϑ = µRFθ
0
essendo M costante.
Esercizio n.3
Siano v CM la velocità del centro di massa della sbarra ed ω il modulo della velocità angolare intorno al centro di massa
della sbarra. La conservazione della quantità di moto (la risultante delle forze esterne è nulla) e dell’ energia cinetica del
sistema (l’ urto è elastico) fornisce
mv = M v CM
(1)
1
1
1
2
mv 2 = Mv CM
+ Iω 2
2
2
2
1
2
con I = ML dove L è la lunghezza della sbarra.
12
La conservazione del momento angolare rispetto ad un punto coincidente con la posizione del CM della sbarra prima
dell’ urto dà
1
(2)
Lmv = Iω
2
v
m
v CM =
v
v CM =
4
M
3v
6m
Le equazioni (1) e (2) forniscono
v o equivalentemente
ω=
ω=
2L
ML
M = 4m
M = 4m