...

םהוא קוחו תוכילומ ∫ ןורתפ

by user

on
Category: Documents
11

views

Report

Comments

Transcript

םהוא קוחו תוכילומ ∫ ןורתפ
‫מוליכות וחוק אוהם‬
‫צפיפות הזרם ‪ j‬במוליך בעל רדיוס ‪ R‬משתנה כפונקציה של המרחק ממרכז הגליל‪.‬‬
‫מצא‪/‬י את הזרם ‪ I‬אם צפיפות הזרם ‪:‬‬
‫‬
‫‪j‬‬
‫‬
‫‪dA‬‬
‫‪r‬‬
‫א‪) .‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪j (r ) = j0 ⋅ .‬‬
‫‪R‬‬
‫‪j (r ) = j0 (1 −‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫ ‬
‫נשתמש בנוסחה הקושרת זרם לצפיפות זרם והמשטח דרכו הוא עובר ‪. I = ∫ j ⋅ dA :‬‬
‫ ‬
‫נפתח את המכפלה הוקטורית‬
‫‪ j ⋅ dA = j dA cos 0 = j ⋅ dA‬וכך מתקבל ‪j ⋅ dA :‬‬
‫∫ = ‪.(*) I‬‬
‫נסתכל על חתך רוחב של הגליל ונשתמש לשם כך בנוסחת דיפרנציאל של מעגל ‪dA = rdrdθ‬‬
‫כאשר ‪ . 0 ≤ θ ≤ 2π‬מכאן‪ , dA = 2π rdr :‬ואם נציב זאת בנוסחה )*( נקבל ‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ (**) I = 2π ∫ j (r ) ⋅ rdr‬כאשר ) ‪ j (r‬היא פונקצית צפיפות הזרם כתלות ממרחקו ממרכז ההגליל‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫א‪ .‬נציב )‬
‫‪R‬‬
‫‪ j (r ) = j0 (1 −‬במשוואה )**( ונקבל ‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ R2 R 3 2 ‬‬
‫‪ r2 ‬‬
‫‪ r 2 r3 ‬‬
‫‪1 2 π 2‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪I = 2π ∫ j0 1−  rdr = 2π j0 ∫  r −  dr = 2π j0  −  = 2π j0  −‬‬
‫‪ = 2π j0 ⋅ R = R j0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪ 2 3R 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2 3R ‬‬
‫קיבלנו שהזרם במקרה א' שווה ל ‪R 2 j0 ( A) :‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬נציב‬
‫‪R‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪I‬‬
‫⋅ ‪ j (r ) = j0‬במשוואה )**( ונקבל ‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R 2‬‬
‫‪ r3 ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R 3 2 2π 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪I = 2π ∫  j0 ⋅  ⋅ rdr = 2π j0 ∫ dr = 2π j0   = 2π j0‬‬
‫=‬
‫‪R j0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π 2‬‬
‫קיבלנו שהזרם במקרה ב' שווה ל ‪R j0 ( A) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪I‬‬
Current density
The problem:
t
Current density is given by J~ = J cos2 θe− τ rb (spherical coordinates).
Find the charge inside the sphere with the radius R as a function of time if the initial charge was
Q0 .
The solution:
Z2π
I=
Z2π Zπ
t
4πJR2 − t
dϕ R sin θdθJ (θ, ϕ) = dϕ R2 sin θdθJ cos2 θe− τ =
e τ
3
0
Zπ
2
0
0
(1)
0
The current is directed along the positive rb axis (away from the charge inside the sphere).
Therefore,
dQ
= −I
dt
(2)
From here
Zt
Q (t) = Q0 −
0
Zt Idt = Q0 +
0
4πJR2 − t0
e τ
−
3
dt0 = Q0 −
t
4πJR2 τ 1 − e− τ
3
(3)
0
Finally,
Q (t) = Q0 −
t
4πJR2 τ 1 − e− τ
3
(4)
1
‫נתונה ספירה מוליכה ברדיוס ‪ R‬בתוך מעטפת עבה מוליכה הנמצאת בין ‪ 2R‬ל ‪ 3R‬כנראה באיור ‪ .‬המטען בספירה‬
‫הוא ‪ Q‬והמטען במעטפת הוא ‪2Q‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ב‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫כעת מחברים את המעטפת לספירה באמצעות כבל מוליך‬
‫ג‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ד‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫ה‪ .‬הסבירו מדוע האנרגיה המתקבלת בסעיף ד נמוכה מזאת המתקבלת בסעיף ב‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא את הפוטנציאל באמצעות השדה‪ .‬ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של‬
‫השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב‪ .‬להזכירכם‪ ,‬שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה‬
‫של מטען נקודתי‪ ,‬ובתוך מוליך השדה הוא אפס‪:‬‬
‫‪k  Q  2Q ‬‬
‫‪3kQ‬‬
‫‪E  r  3R  ‬‬
‫ˆ‪rˆ  2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E  3R>r  2R   0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E  2R>r  R  ‬‬
‫‪E  R>r   0‬‬
‫את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל מאינסוף (שם אנו מגדירים הפוטנציאל להיות שווה עד לנקודה בה מחשבים את‬
‫הפוטנציאל‪:‬‬
r
r
r

3kQ
3kQ
 3kQ 
dr    

2
r
r
 r  

r
3R
r
r
3R
2R
  3R  r     E dr   
3R
3kQ
3kQ kQ
 3kQ 
  2R  r  3R     E dr    2 dr   0dr    
0


r
3R
R
 r 


3R
r
r
3kQ
kQ
kQ  kQ 
  R  r  2R     E dr    2 dr   0dr   2 dr 
 
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kQ kQ kQ kQ kQ





R
r
2R
r
2R
r
3R
2R
R
r
3kQ
kQ
3kQ
  r  R     E dr    2 dr   0dr   2 dr   0dr 
r
r
2R


3R
2R
R
‫ את האנרגיה של המערכת נחשב באמצעות הנוסחא‬.‫ב‬
1
 Qii
2 i
‫– על הדופן הפנימית (על מנת שלא יהיה שדה‬Q ‫ יש‬,‫ בקליפה העבה‬.‫ כולו על המעטפת‬Q ‫בכדור הפנימי המטען‬
:‫ לכן‬.)2Q ‫ על המעטפת החיצונית (על מנת שסה"כ מטען קליפה העבה יהיה‬3Q ‫במוליך) ו‬
1
1
U   Qii  Q ( R )  ( Q ) (2 R )  3Q (3R ) 
2 i
2
U
2
1 kQ 2  3
 19 kQ

1

9



2 R 2
 4 R
‫ נסמן את המטען‬.‫ אך בגלל החיבור איננו יודעים את המטען על כל כדור‬,‫ נוכל להשתמש בתוצאה של סעיף א‬.‫ג‬
‫ מכיוון שסה"כ המטען לא‬.)‫ בקליפה (ונחליף את המטענים מסעיף א במטענים החדשים‬q2 ‫ בכדור ו‬q1 ‫החדש כ‬

‫ בנוסף אנחנו יודעים שלאחר החיבור הפוטנציאלים צריכים להיות שווים ולכן‬. q1  q2  3Q ‫השתנה אזי‬
  R)   R)
k(q1  q2 ) 3kQ
  3R  r  

r
r
kQ
  2R  r  3R  
R
r
3R
2R
r
r
3kQ
kq
kQ  kq1 
dr   0dr   21 dr 
 
2
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kq kQ kq1
 1

r
R 2R
kQ kq1
 r  R  

R 2R
:   R)   R) ‫כעת נדרוש כי‬
kQ kQ kq1


 q1  0
R
R 2R
‫ הפונציאל יהיה‬.‫כלומר כל המטען עבר החוצה‬
3kQ
  r>3R  
r
kQ
  r  3R  
R
  R  r  2R     E dr   
‫ד‪ .‬כמו בסעיף ב (רק שהפעם יש מטען רק בקליפה החיצונית)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 kQ 2‬‬
‫‪U   Qii  3Q (3R ) ‬‬
‫‪2 i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 R‬‬
‫ה‪ .‬האנרגיה במקרה השני קטנה יותר מכיוון מערכות פיזיקלית (כשהן יכולות) משתנות על מנת להקטין את‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית שלהן‪.‬‬
Fly UP