Comments
Description
Transcript
םהוא קוחו תוכילומ ∫ ןורתפ
מוליכות וחוק אוהם צפיפות הזרם jבמוליך בעל רדיוס Rמשתנה כפונקציה של המרחק ממרכז הגליל. מצא/י את הזרם Iאם צפיפות הזרם : j dA r א) . R r בj (r ) = j0 ⋅ . R j (r ) = j0 (1 − פתרון : נשתמש בנוסחה הקושרת זרם לצפיפות זרם והמשטח דרכו הוא עובר . I = ∫ j ⋅ dA : נפתח את המכפלה הוקטורית j ⋅ dA = j dA cos 0 = j ⋅ dAוכך מתקבל j ⋅ dA : ∫ = .(*) I נסתכל על חתך רוחב של הגליל ונשתמש לשם כך בנוסחת דיפרנציאל של מעגל dA = rdrdθ כאשר . 0 ≤ θ ≤ 2πמכאן , dA = 2π rdr :ואם נציב זאת בנוסחה )*( נקבל : R (**) I = 2π ∫ j (r ) ⋅ rdrכאשר ) j (rהיא פונקצית צפיפות הזרם כתלות ממרחקו ממרכז ההגליל. 0 r א .נציב ) R j (r ) = j0 (1 −במשוואה )**( ונקבל : R R R2 R 3 2 r2 r 2 r3 1 2 π 2 r I = 2π ∫ j0 1− rdr = 2π j0 ∫ r − dr = 2π j0 − = 2π j0 − = 2π j0 ⋅ R = R j0 R 6 3 R 2 3R 0 0 0 2 3R קיבלנו שהזרם במקרה א' שווה ל R 2 j0 ( A) : r ב .נציב R π 3 R =I ⋅ j (r ) = j0במשוואה )**( ונקבל : R R 2 r3 r r R 3 2 2π 2 I = 2π ∫ j0 ⋅ ⋅ rdr = 2π j0 ∫ dr = 2π j0 = 2π j0 = R j0 R R 3 R 3 3 R 0 0 0 2π 2 קיבלנו שהזרם במקרה ב' שווה ל R j0 ( A) : 3 R =I Current density The problem: t Current density is given by J~ = J cos2 θe− τ rb (spherical coordinates). Find the charge inside the sphere with the radius R as a function of time if the initial charge was Q0 . The solution: Z2π I= Z2π Zπ t 4πJR2 − t dϕ R sin θdθJ (θ, ϕ) = dϕ R2 sin θdθJ cos2 θe− τ = e τ 3 0 Zπ 2 0 0 (1) 0 The current is directed along the positive rb axis (away from the charge inside the sphere). Therefore, dQ = −I dt (2) From here Zt Q (t) = Q0 − 0 Zt Idt = Q0 + 0 4πJR2 − t0 e τ − 3 dt0 = Q0 − t 4πJR2 τ 1 − e− τ 3 (3) 0 Finally, Q (t) = Q0 − t 4πJR2 τ 1 − e− τ 3 (4) 1 נתונה ספירה מוליכה ברדיוס Rבתוך מעטפת עבה מוליכה הנמצאת בין 2Rל 3Rכנראה באיור .המטען בספירה הוא Qוהמטען במעטפת הוא 2Q 2Q 3R 2R R Q א .מצאו פוטנציאל בכל המרחב ב .מה האנרגיה הכוללת של המערכת ? כעת מחברים את המעטפת לספירה באמצעות כבל מוליך ג .מצאו פוטנציאל בכל המרחב ד .מה האנרגיה הכוללת של המערכת ? ה .הסבירו מדוע האנרגיה המתקבלת בסעיף ד נמוכה מזאת המתקבלת בסעיף ב פתרון: א .נמצא את הפוטנציאל באמצעות השדה .ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב .להזכירכם ,שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה של מטען נקודתי ,ובתוך מוליך השדה הוא אפס: k Q 2Q 3kQ E r 3R ˆrˆ 2 r 2 r r E 3R>r 2R 0 kQ ˆr r2 E 2R>r R E R>r 0 את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל מאינסוף (שם אנו מגדירים הפוטנציאל להיות שווה עד לנקודה בה מחשבים את הפוטנציאל: r r r 3kQ 3kQ 3kQ dr 2 r r r r 3R r r 3R 2R 3R r E dr 3R 3kQ 3kQ kQ 3kQ 2R r 3R E dr 2 dr 0dr 0 r 3R R r 3R r r 3kQ kQ kQ kQ R r 2R E dr 2 dr 0dr 2 dr r r R r 2 R 3R 2R kQ kQ kQ kQ kQ R r 2R r 2R r 3R 2R R r 3kQ kQ 3kQ r R E dr 2 dr 0dr 2 dr 0dr r r 2R 3R 2R R את האנרגיה של המערכת נחשב באמצעות הנוסחא.ב 1 Qii 2 i – על הדופן הפנימית (על מנת שלא יהיה שדהQ יש, בקליפה העבה. כולו על המעטפתQ בכדור הפנימי המטען : לכן.)2Q על המעטפת החיצונית (על מנת שסה"כ מטען קליפה העבה יהיה3Q במוליך) ו 1 1 U Qii Q ( R ) ( Q ) (2 R ) 3Q (3R ) 2 i 2 U 2 1 kQ 2 3 19 kQ 1 9 2 R 2 4 R נסמן את המטען. אך בגלל החיבור איננו יודעים את המטען על כל כדור, נוכל להשתמש בתוצאה של סעיף א.ג מכיוון שסה"כ המטען לא.) בקליפה (ונחליף את המטענים מסעיף א במטענים החדשיםq2 בכדור וq1 החדש כ בנוסף אנחנו יודעים שלאחר החיבור הפוטנציאלים צריכים להיות שווים ולכן. q1 q2 3Q השתנה אזי R) R) k(q1 q2 ) 3kQ 3R r r r kQ 2R r 3R R r 3R 2R r r 3kQ kq kQ kq1 dr 0dr 21 dr 2 r r R r 2 R 3R 2R kq kQ kq1 1 r R 2R kQ kq1 r R R 2R : R) R) כעת נדרוש כי kQ kQ kq1 q1 0 R R 2R הפונציאל יהיה.כלומר כל המטען עבר החוצה 3kQ r>3R r kQ r 3R R R r 2R E dr ד .כמו בסעיף ב (רק שהפעם יש מטען רק בקליפה החיצונית) 1 1 3 kQ 2 U Qii 3Q (3R ) 2 i 2 2 R ה .האנרגיה במקרה השני קטנה יותר מכיוון מערכות פיזיקלית (כשהן יכולות) משתנות על מנת להקטין את האנרגיה הפוטנציאלית שלהן.