נ סוידרב הכילומ הריפס הנות ןיב תאצמנה הכילומ הבע תפטעמ ךותב ל

‫נתונה ספירה מוליכה ברדיוס ‪ R‬בתוך מעטפת עבה מוליכה הנמצאת בין ‪ 2R‬ל ‪ 3R‬כנראה באיור ‪ .‬המטען בספירה‬
‫הוא ‪ Q‬והמטען במעטפת הוא ‪2Q‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ב‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫כעת מחברים את המעטפת לספירה באמצעות כבל מוליך‬
‫ג‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ד‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫ה‪ .‬הסבירו מדוע האנרגיה המתקבלת בסעיף ד נמוכה מזאת המתקבלת בסעיף ב‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא את הפוטנציאל באמצעות השדה‪ .‬ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של‬
‫השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב‪ .‬להזכירכם‪ ,‬שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה‬
‫של מטען נקודתי‪ ,‬ובתוך מוליך השדה הוא אפס‪:‬‬
‫‪k  Q  2Q ‬‬
‫‪3kQ‬‬
‫‪E  r  3R  ‬‬
‫ˆ‪rˆ  2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E  3R>r  2R   0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E  2R>r  R  ‬‬
‫‪E  R>r   0‬‬
‫את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל מאינסוף (שם אנו מגדירים הפוטנציאל להיות שווה עד לנקודה בה מחשבים את‬
‫הפוטנציאל‪:‬‬
r
r
r

3kQ
3kQ
 3kQ 
dr    

2
r
r
 r  

r
3R
r
r
3R
2R
  3R  r     E dr   
3R
3kQ
3kQ kQ
 3kQ 
  2R  r  3R     E dr    2 dr   0dr    
0


r
3R
R
 r 


3R
r
r
3kQ
kQ
kQ  kQ 
  R  r  2R     E dr    2 dr   0dr   2 dr 
 
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kQ kQ kQ kQ kQ





R
r
2R
r
2R
r
3R
2R
R
r
3kQ
kQ
3kQ
  r  R     E dr    2 dr   0dr   2 dr   0dr 
r
r
2R


3R
2R
R
‫ את האנרגיה של המערכת נחשב באמצעות הנוסחא‬.‫ב‬
1
 Qii
2 i
‫– על הדופן הפנימית (על מנת שלא יהיה שדה‬Q ‫ יש‬,‫ בקליפה העבה‬.‫ כולו על המעטפת‬Q ‫בכדור הפנימי המטען‬
:‫ לכן‬.)2Q ‫ על המעטפת החיצונית (על מנת שסה"כ מטען קליפה העבה יהיה‬3Q ‫במוליך) ו‬
1
1
U   Qii  Q ( R )  ( Q ) (2 R )  3Q (3R ) 
2 i
2
U
2
1 kQ 2  3
 19 kQ

1

9



2 R 2
 4 R
‫ נסמן את המטען‬.‫ אך בגלל החיבור איננו יודעים את המטען על כל כדור‬,‫ נוכל להשתמש בתוצאה של סעיף א‬.‫ג‬
‫ מכיוון שסה"כ המטען לא‬.)‫ בקליפה (ונחליף את המטענים מסעיף א במטענים החדשים‬q2 ‫ בכדור ו‬q1 ‫החדש כ‬

‫ בנוסף אנחנו יודעים שלאחר החיבור הפוטנציאלים צריכים להיות שווים ולכן‬. q1  q2  3Q ‫השתנה אזי‬
  R)   R)
k(q1  q2 ) 3kQ
  3R  r  

r
r
kQ
  2R  r  3R  
R
r
3R
2R
r
r
3kQ
kq
kQ  kq1 
dr   0dr   21 dr 
 
2
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kq kQ kq1
 1

r
R 2R
kQ kq1
 r  R  

R 2R
:   R)   R) ‫כעת נדרוש כי‬
kQ kQ kq1


 q1  0
R
R 2R
‫ הפונציאל יהיה‬.‫כלומר כל המטען עבר החוצה‬
3kQ
  r>3R  
r
kQ
  r  3R  
R
  R  r  2R     E dr   
‫ד‪ .‬כמו בסעיף ב (רק שהפעם יש מטען רק בקליפה החיצונית)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 kQ 2‬‬
‫‪U   Qii  3Q (3R ) ‬‬
‫‪2 i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 R‬‬
‫ה‪ .‬האנרגיה במקרה השני קטנה יותר מכיוון מערכות פיזיקלית (כשהן יכולות) משתנות על מנת להקטין את‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית שלהן‪.‬‬