Electric Potential and Energy

Electric Potential and Energy
Submitted by: I.D. 039033345
The problem:
How much energy is needed to create the following configuration?
The solution:
Let φi be the potential at the position of the charge qi as a result of all the other charges.
φi =
X kqj
i6=j
(1)
rj
Numbering the charges from the left upper corner in the clockwise direction we have
kq kq
kq
q1 φ1 = q − −
+√
a
a
2a
kq
kq kq
q2 φ2 = −q
+
−√
a
a
2a
q3 φ1 = q1 φ1
(2)
(3)
(4)
q4 φ4 = q2 φ2
kq 2 √
1X
U =
qi φi =
( 2 − 4) ⇒ U < 0
2
a
(5)
U <0
(7)
(6)
i
Then
From here we can conclude that the work needed to create this system is negative, therefore we
need to invest energy in order to dissolve the system.
1
‫‪ 4200‬לעבודה‬
‫נתון משטח אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה ‪ .σ‬במרחק ‪ R‬מהמשטח יש ספירה‬
‫ברדיוס ‪) R0‬כדור חלול( הטעונה במטען כולל ‪ .Q‬מצא את העבודה הדרושה להעברת מטען ‪q‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ ,B‬ומהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.C‬‬
‫פתרון‪ :‬נפתור לפי סופרפוזציה של לוח אינסופי וקליפה כדורית‪.‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של לוח אינסופי‪:‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫)‪⃗ r) = 2πkσsign(z‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫פוטנציאל של לוח אינסופי‪:‬‬
‫‪∫z‬‬
‫|‪⃗ = −2πkσ|z‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Φ(⃗r) = −‬‬
‫‪r0‬‬
‫הפרש הפונציאל בין שני הנקודות ‪ A‬ו ‪:B‬‬
‫‪VA→B = Φ(⃗rB ) − Φ(⃗rA ) = +2πkσR‬‬
‫הפרש הפונציאל בין שני הנקודות ‪ A‬ו ‪:C‬‬
‫‪VA→C = Φ(⃗rB ) − Φ(⃗rA ) = +2πkσR‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של הספירה‪:‬‬
‫{‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪⃗ r) = 0‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r̂ , r > R0‬‬
‫‪r2‬‬
‫פוטנציאל של ספירה‪:‬‬
‫‪, r < R0‬‬
‫‪, r > R0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫{‬
‫‪∫r‬‬
‫= ⃗‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫∞‬
‫‪Φ(⃗r) = −‬‬
‫‪r0‬‬
‫הפרש הפונציאל בין שני הנקודות ‪ A‬ו ‪:B‬‬
‫‪kQ kQ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R0‬‬
‫א‬
‫= ) ‪VA→B = Φ(⃗rB ) − Φ(⃗rA‬‬
‫‪ 4200‬לעבודה‬
‫הפרש הפונציאל בין שני הנקודות ‪ A‬ו ‪:C‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫√ = ) ‪VA→C = Φ(⃗rB ) − Φ(⃗rA‬‬
‫‪−‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪2R‬‬
‫לכן העבודה הדרושה לגורם חיצוני להעביר מטען ‪ q‬יהיה הסכום‪:‬‬
‫‪⃗ = qVA→B = kQq − kQq + 2πkσqR‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪∫B‬‬
‫‪∫B‬‬
‫‪⃗ = −q‬‬
‫‪F⃗ dr‬‬
‫‪A‬‬
‫‪WA→B = −‬‬
‫‪A‬‬
‫‪kQq‬‬
‫‪kQq‬‬
‫‪+ 2πkσqR‬‬
‫√ = ‪WA→C = qVA→C‬‬
‫‪−‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪2R‬‬
‫חשוב להשים לב כי התנועה כנגד המשטח הינו נגד קווי השדה כלומר תהליך שדורש עבודה‪,‬‬
‫לכן הביטוי חיובי‪ .‬וכי עבור הספירה התהליך הוא עם כיוון קווי השדה לכן לא נדרש מאיתנו‬
‫עבודה לכן העבודה היא שלילית‪.‬‬
‫ב‬
‫נתונה ספירה מוליכה ברדיוס ‪ R‬בתוך מעטפת עבה מוליכה הנמצאת בין ‪ 2R‬ל ‪ 3R‬כנראה באיור ‪ .‬המטען בספירה‬
‫הוא ‪ Q‬והמטען במעטפת הוא ‪2Q‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ב‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫כעת מחברים את המעטפת לספירה באמצעות כבל מוליך‬
‫ג‪ .‬מצאו פוטנציאל בכל המרחב‬
‫ד‪ .‬מה האנרגיה הכוללת של המערכת ?‬
‫ה‪ .‬הסבירו מדוע האנרגיה המתקבלת בסעיף ד נמוכה מזאת המתקבלת בסעיף ב‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא את הפוטנציאל באמצעות השדה‪ .‬ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של‬
‫השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב‪ .‬להזכירכם‪ ,‬שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה‬
‫של מטען נקודתי‪ ,‬ובתוך מוליך השדה הוא אפס‪:‬‬
‫‪k  Q  2Q ‬‬
‫‪3kQ‬‬
‫‪E  r  3R  ‬‬
‫ˆ‪rˆ  2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E  3R>r  2R   0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E  2R>r  R  ‬‬
‫‪E  R>r   0‬‬
‫את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל מאינסוף (שם אנו מגדירים הפוטנציאל להיות שווה עד לנקודה בה מחשבים את‬
‫הפוטנציאל‪:‬‬
r
r
r

3kQ
3kQ
 3kQ 
dr    

2
r
r
 r  

r
3R
r
r
3R
2R
  3R  r     E dr   
3R
3kQ
3kQ kQ
 3kQ 
  2R  r  3R     E dr    2 dr   0dr    
0


r
3R
R
 r 


3R
r
r
3kQ
kQ
kQ  kQ 
  R  r  2R     E dr    2 dr   0dr   2 dr 
 
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kQ kQ kQ kQ kQ





R
r
2R
r
2R
r
3R
2R
R
r
3kQ
kQ
3kQ
  r  R     E dr    2 dr   0dr   2 dr   0dr 
r
r
2R


3R
2R
R
‫ את האנרגיה של המערכת נחשב באמצעות הנוסחא‬.‫ב‬
1
 Qii
2 i
‫– על הדופן הפנימית (על מנת שלא יהיה שדה‬Q ‫ יש‬,‫ בקליפה העבה‬.‫ כולו על המעטפת‬Q ‫בכדור הפנימי המטען‬
:‫ לכן‬.)2Q ‫ על המעטפת החיצונית (על מנת שסה"כ מטען קליפה העבה יהיה‬3Q ‫במוליך) ו‬
1
1
U   Qii  Q ( R )  ( Q ) (2 R )  3Q (3R ) 
2 i
2
U
2
1 kQ 2  3
 19 kQ

1

9



2 R 2
 4 R
‫ נסמן את המטען‬.‫ אך בגלל החיבור איננו יודעים את המטען על כל כדור‬,‫ נוכל להשתמש בתוצאה של סעיף א‬.‫ג‬
‫ מכיוון שסה"כ המטען לא‬.)‫ בקליפה (ונחליף את המטענים מסעיף א במטענים החדשים‬q2 ‫ בכדור ו‬q1 ‫החדש כ‬

‫ בנוסף אנחנו יודעים שלאחר החיבור הפוטנציאלים צריכים להיות שווים ולכן‬. q1  q2  3Q ‫השתנה אזי‬
  R)   R)
k(q1  q2 ) 3kQ
  3R  r  

r
r
kQ
  2R  r  3R  
R
r
3R
2R
r
r
3kQ
kq
kQ  kq1 
dr   0dr   21 dr 
 
2
r
r
R  r  2 R


3R
2R
kq kQ kq1
 1

r
R 2R
kQ kq1
 r  R  

R 2R
:   R)   R) ‫כעת נדרוש כי‬
kQ kQ kq1


 q1  0
R
R 2R
‫ הפונציאל יהיה‬.‫כלומר כל המטען עבר החוצה‬
3kQ
  r>3R  
r
kQ
  r  3R  
R
  R  r  2R     E dr   
‫ד‪ .‬כמו בסעיף ב (רק שהפעם יש מטען רק בקליפה החיצונית)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 kQ 2‬‬
‫‪U   Qii  3Q (3R ) ‬‬
‫‪2 i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 R‬‬
‫ה‪ .‬האנרגיה במקרה השני קטנה יותר מכיוון מערכות פיזיקלית (כשהן יכולות) משתנות על מנת להקטין את‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית שלהן‪.‬‬
j,=rfu+
f, * 9,0"
'/nn
>-*nv^, 6^
/ (:- ,4
{")trJlE
*,
F, h n rL *
o'/-2
Q,-
,.
*,d'
*/L
)'t>
/
7;
fo f, rLJy f -t fr,* S'*/'*t,s
.
,g_
{.* p.d<a*-l
bl*i
r
* rn
**
A fay
"{
)-srfi
rla
_, ,
h i]
;. f p, $,rLd,.
kf-
JrY'
" rf* Fra 4r
_/c
ffr
QflE
G
r
hnr,
:, Q ,,y,*.,!r
r,s J*t . i *",o,1; if*r*
f
{:_
d,
'{- rU
/n
(o
T'
z,rr' = (f p, L r> Jr
Y
\"'/
{^$nr=
eT
'r-"
,-"
'/
t ,z c.ty.)
i=r,
A
-+
-}t=-*)
*
f,
g;
#J'-?)
4"F4'fiilvL* [.qte*
*/1v(
vt L
p.f ,**ev?r*i
6tr
L
* .F* (.'*t) = t*s.*(t'-{)
F,burL= &tr
F"g}
fr-
L'r'\
L
o
rL
""/
,t/
t
'/vOro
.5 o J: /o*
/t'
(t.r r)
O
(,,^ )
L
&rJ
'r
ta
!/-: -(/) € Jn
,r0
v
: -'r P"$"-r)
('/*;
"
{;t
"'o{ri-
--tl\
&
vo=
iLa_a.
'{...o '..r.
L -/
f>u
"7
I t-b
v. ( p,
Jv- z
{,rq):^
4
zr?e
t: \
T
:
y. l"**
a
lrr*tz _ ae- A:i
= -%
f(-*+T-e.)
y" : \ " vo ;,& ib_i r. * a: - {:
{-$
b
\ z
r
lh
t"F d
r_ s.-
a<v_<
ol\
?A}
*G
's: -t'J
- fl'\
-&fr
[T-T
''ig*y?
va =
# iH $'.S o'"\= * (T ia'-a) -#)
r
n
V'-\') Ezr
Ft6 dr :* i
s
Vr : \*
d"'rd
*vq
* "0
t-c
Yzq
rG-r)
,\
p/t? *ri "-g** l
:- j4u
+
fu is:-t-g
c\-J
z
a
;
'l
\t
\
= P* t-?
{?:x*
.t.,)
\
r}1
* vS ", f,."1 '\
T*'* ayj
a :*1*
I
\
\