תילמשח הייגרנאו תוכתמ רובע ילמשח לאיצנטופ ־ 6 לוגרת :ךופהה רשקה
by user
Comments
Transcript
תילמשח הייגרנאו תוכתמ רובע ילמשח לאיצנטופ ־ 6 לוגרת :ךופהה רשקה
תרגול 6־ פוטנציאל חשמלי עבור מתכות ואנרגייה חשמלית הפונציאל מוגדר: ~ r ~Ed ´r r0 (1) φ(~r) = − הקשר ההפוך: ∂ ̂r)z ~(∂z φ − ∂ ̂r)y ~(∂y φ ~(~ r) = −∇φ ~ r) = − ∂ φ(~r)x̂ − ~((2) E ∂x אנרגייה חשמלית אגורה במערכת: kqi qj ri,j P i6=j 1 2 = kqi qj ri,j P = (3) U ><i,j עבור התלפגות רציפה של מטענים: φ(~r)dq ´ 1 2 = (4) U הגדרה נוספת שנכיר בעתיד עבור אנרגייה אגורה: ~ 2 dv E ´ all space ε0 2 = (5) U מוליך :במוליך המטענים מסתדרים כך שהשדה החשמלי בתוכו יהיה אפס, ושקול לומר כי הפוטנציאל עליו היינו קבוע .חיבור שני מולכים זה לזה משווה בינהם את הפוטנציאל. הארקה :חיבור בין גוף מוליך לבין ״כדור הארץ״ )מקום בו הפוטנציאל שווה לאפס(, כלומר הפונציאל על המוליך הינו אפס. 1 נתונה ספירה מוליכה ברדיוס Rבתוך מעטפת עבה מוליכה הנמצאת בין 2Rל 3Rכנראה באיור .המטען בספירה הוא Qוהמטען במעטפת הוא 2Q 2Q 3R 2R R Q א .מצאו פוטנציאל בכל המרחב ב .מה האנרגיה הכוללת של המערכת ? כעת מחברים את המעטפת לספירה באמצעות כבל מוליך ג .מצאו פוטנציאל בכל המרחב ד .מה האנרגיה הכוללת של המערכת ? ה .הסבירו מדוע האנרגיה המתקבלת בסעיף ד נמוכה מזאת המתקבלת בסעיף ב פתרון: א .נמצא את הפוטנציאל באמצעות השדה .ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב .להזכירכם ,שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה של מטען נקודתי ,ובתוך מוליך השדה הוא אפס: k Q 2Q 3kQ E r 3R ˆrˆ 2 r 2 r r E 3R>r 2R 0 kQ ˆr r2 E 2R>r R E R>r 0 את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל מאינסוף (שם אנו מגדירים הפוטנציאל להיות שווה עד לנקודה בה מחשבים את הפוטנציאל: r r r 3kQ 3kQ 3kQ dr 2 r r r r 3R r r 3R 2R 3R r E dr 3R 3kQ 3kQ kQ 3kQ 2R r 3R E dr 2 dr 0dr 0 r 3R R r 3R r r 3kQ kQ kQ kQ R r 2R E dr 2 dr 0dr 2 dr r r R r 2 R 3R 2R kQ kQ kQ kQ kQ R r 2R r 2R r 3R 2R R r 3kQ kQ 3kQ r R E dr 2 dr 0dr 2 dr 0dr r r 2R 3R 2R R את האנרגיה של המערכת נחשב באמצעות הנוסחא.ב 1 Qii 2 i – על הדופן הפנימית (על מנת שלא יהיה שדהQ יש, בקליפה העבה. כולו על המעטפתQ בכדור הפנימי המטען : לכן.)2Q על המעטפת החיצונית (על מנת שסה"כ מטען קליפה העבה יהיה3Q במוליך) ו 1 1 U Qii Q ( R ) ( Q ) (2 R ) 3Q (3R ) 2 i 2 U 2 1 kQ 2 3 19 7 kQ 1 9 2 R 2 4 R נסמן את המטען. אך בגלל החיבור איננו יודעים את המטען על כל כדור, נוכל להשתמש בתוצאה של סעיף א.ג מכיוון שסה"כ המטען לא.) בקליפה (ונחליף את המטענים מסעיף א במטענים החדשיםq2 בכדור וq1 החדש כ בנוסף אנחנו יודעים שלאחר החיבור הפוטנציאלים צריכים להיות שווים ולכן. q1 q2 3Q השתנה אזי R) R) k(q1 q2 ) 3kQ 3R r r r kQ 2R r 3R R r 3R 2R r r 3kQ kq kQ kq1 dr 0dr 21 dr 2 r r R r 2 R 3R 2R kq kQ kq1 1 r R 2R kQ kq1 r R R 2R : R) R) כעת נדרוש כי kQ kQ kq1 q1 0 R R 2R הפונציאל יהיה.כלומר כל המטען עבר החוצה 3kQ r>3R r kQ r 3R R R r 2R E dr ד .כמו בסעיף ב (רק שהפעם יש מטען רק בקליפה החיצונית) 1 1 3 kQ 2 U Qii 3Q (3R ) 2 i 2 2 R ה .האנרגיה במקרה השני קטנה יותר מכיוון מערכות פיזיקלית (כשהן יכולות) משתנות על מנת להקטין את האנרגיה הפוטנציאלית שלהן. 4304 נתונה מערכת של ארבעה לוחות טעונים באופן אחיד. נתונים) σ2 ,σ1 :חיוביים( a ,ו־ .bניתן להניח כי המרחק בין הלוחות קטן מאוד ביחס למימדים שלהם וגם כי .σ1 < σ2 א .מהו השדה החשמלי בכל אחד מחמשת האיזורים? ב .משחררים פרוטון )מטען ( +eמהלוח . −σ1כמה אנרגיה הוא "ירוויח" מהמערכת בהנחה שהוא מסוגל לעבור דרך הלוחות מבלי לאבד בהם אנרגיה? ג .מה תהיה מהירותו כשיצא מהמערכת? פתרון סעיף א: שדה חשמלי של לוח הטעון ליחידת שטח σiאינסופי שנמצא ב):(0, y, z σi ̂20 sign(x)x = ~ (1) E לכן לפי עקרון סופרפוזציה )נמקם את הראשית בלוח :(+σ2 , a + b < x < 2a + b ,a < x < a + b ,0 < x < a , else 1 ̂E2 x̂ = σ02 x ̂E3 x̂ = − σ01 x̂ + σ02 x = ~ (2) E ̂E4 x̂ = σ02 x E1 x̂ = E5 x̂ = 0 סעיף ב: כעת נמצא כמה אנרגייה ירוויח הפרוטון: = ) (5) ∆U = −(U f − Ui ) = −e(φf − φi E4 dx b + e σ02 a σ1 0 − σ2 0 ´ 2a+b a+b E3 dx + e (2a + b − (a + b)) = e eσ2 0 ´ a+b a ~ =e )~ dx E (a + b − a) + ´ xf xi σ1 0 − (6) −e(− σ2 0 (7) e דגש חשוב :העבודה שמבצע הגוף עצמו כדי להגיע ממקום למקום היא מינוס העבודה שיש להשקיע עליו )לכן פקטור הסימן(. סעיף ג: שימור אנרגייה :Ei = Ef (8) Ei = Ki + Ui (9) Ef = Kf + Uf הגוף מתחיל ממנוחה לכן אין אנרגייה קינטית התחלתית (10) Kf = Ui − Uf אנרגייה קינטית mv 2 2 =K b + e σ01 a σ2 0 − σ1 0 ][b (σ2 − σ1 ) + σ2 a 2 =e 2e mp 0 q mp vf2 2 )(11 = (12) vf