Simulazione di un sistema preda-predatore

Simulare un sistema dinamico
Modello preda-predatore
• Le equazioni di Lotka-Volterra, note anche come
equazioni preda-predatore, sono un sistema di equazioni
differenziali non lineari del primo ordine.
• Tali equazioni descrivono la dinamica di un ecosistema
in cui interagiscono soltanto due specie animali: una
delle due come predatore, l'altra come la sua preda.
• Questo modello è stato proposto indipendentemente da
Alfred J. Lotka nel 1925 e Vito Volterra nel 1926.
Predatore
Tasso di crescita della popolazione di predatori, cioè la derivata P'(t):
• I predatori possono nutrirsi soltanto delle prede.
• La quantità totale di cibo consumata dai predatori (cioè la quantità di prede
mangiate) per unità di tempo è proporzionale al numero di incontri tra prede e
predatori che sarà proporzionale (approssimativamente) ad entrambe le
popolazioni
• La velocità con cui la popolazione di predatori muore è proporzionale al
numero di predatori
Predatore
dP
= −α ⋅ P (t ) + β ⋅ P (t ) ⋅ H (t )
dt
Tasso di mortalità:
Il numero di predatori decresce
in maniera proporzionale alla
popolazione P presente
Tasso di sviluppo:
dipende dall’interazione tra la
popolazione di prede H e
quella dei predatori P
Preda
Tasso di crescita della popolazione delle prede, cioè la derivata H'(t):
• Le prede hanno cibo illimitato (crescita illimitata).
•La velocità con cui la popolazione di prede si riproduce è proporzionale al
numero di prede
•
•Alcune prede vengono uccise dai predatori, perciò la presenza di predatori
tende a far diminuire il numero di prede. Tale diminuzione è proporzionale al
numero di incontri tra prede e predatori che sarà proporzionale
(approssimativamente) ad entrambe le popolazioni
Predatore
dH
= γ ⋅ H (t ) − δ ⋅ P(t ) ⋅ H (t )
dt
Tasso di riproduzione:
Il numero di prede cresce in
maniera proporzionale alla
popolazione H presente
Tasso di preadzione:
dipende dall’interazione tra la
popolazione di prede H e
quella dei predatori P
Simulare il sistema
A partire da un certa condizione iniziale, in cui abbiamo dei valori definiti
per il numero di prede H0 ed il numero di predatori P0, si supponga di avere
un passo temporale Δt e di scrivere le due equazioni differenziali come:
Pt = Pt −1 + Δt ⋅ (−α ⋅ Pt −1 + β ⋅ Pt −1 ⋅ H t −1 )
H t = H t −1 + Δt ⋅ (γ ⋅ H t −1 − δ ⋅ Pt −1 ⋅ H t −1 )
Simulare il sistema
Provare il sistema utilizzando:
a=2, β=5, γ=5, δ=2
ed un Δt sufficientemente piccolo
(0.0001)
Pt = Pt −1 + Δt ⋅ (−α ⋅ Pt −1 + β ⋅ Pt −1 ⋅ H t −1 )
H t = H t −1 + Δt ⋅ (γ ⋅ H t −1 − δ ⋅ Pt −1 ⋅ H t −1 )
Simulare il sistema
Disegnare il grafico utilizzando Gnuplot, utilizzando come ascisse i valori di
H(t) trovati e come ordinate i valori di P(t).
Numero di predatori
Al variare delle condizioni inziale P(0) e H(0) si dovrebbe ottenere un
grafico del tipo:
Numero di prede