Il modello preda-predatore di Lotka-Volterra (Testo)

Il modello preda-predatore di Lotka-Volterra
(Testo)
La prima teoria coerente e quantitativa del fenomeno della predazione è dovuta all'opera di due
padri fondatori dell'ecologia moderna: il biofisico americano Alfred J.Lotka e il matematico italiano
Vito Volterra. Essi in maniera indipendente, giunsero a formulare (Lotka nel 1924 e Volterra nel
1926) le equazioni che regolano la dinamica di una specie di prede e di una di predatori
mutuamente
accoppiati.
Le equazioni di Lotka-Volterra si basano sull'assunzione che la preda e il predatore, ove siano
isolati l'uno dall'altro, abbiano rispettivamente una dinamica di tipo logistico (la crescita della preda
è limitata dalle risorse di cui si nutre) e una di tipo malthusiano. La preda ha un tasso intrinseco di
crescita positivo, mentre il predatore, essendo escluso dal suo cibo, non può che morire di fame e
avere un tasso intrinseco negativo. Se si pone:
•
N1(t)=numero delle prede
•
N2(t)=numero dei predatori
l'assunzione vale, in condizioni di separazione delle specie, alle equazioni:
dove:
•
•
•
=tasso di crescita della preda
=tasso di crescita del predatore
k1=capacità portante della preda in assenza del predatore
Quando si portano a contatto le due specie in una determinata area o volume, i predatori
attaccheranno le prede e una certa percentuale di questi attacchi risulterà nella morte della preda.
Lotka e Volterra, probabilmente sotto l'influenza della teoria cinetica dei gas, assunsero che gli
scontri fossero del tutto casuali come tra le molecole di gas diversi e quindi che la probabilità di
incontro tra una preda e un predatore fosse proporzionale al prodotto delle rispettive densità cioè ad
N1N2. Perciò la perdita di prede nell'unità di tempo si può assumere uguale a pN1N2 esseno p una
costante positiva mentre l'incremento dei predatori nell'unità di tempo è proporzionale, attraverso un
coefficiente e, al prodotto pN1N2. La costante erappresenta l'efficienza di conversione della
biomassa delle prede in nuova biomassa dei predatori. In definitiva si hanno le equazioni:
Studiare la dinamica del sistema nei vari casi.