La realtà dà i numeri - Dipartimento di Matematica e Applicazioni

“La realtà…
dà i numeri!”
Liceo Scientifico
“F. Silvestri”
a.s.: 2006/2007
Progetto Lauree
Scientifiche
Convegno
conclusivo
8 maggio 2007
“ La Natura è
un grande Libro
scritto da Dio
in lingua
Matematica …”
Galileo Galilei
Un po’ di storia…
La nozione di modello risale al secolo VI a.C., quando Pitagora tentò di
definire la struttura dell’Universo attraverso l’analisi di numeri che
rappresentavano i corpi celesti: era un primitivo tentativo di costruire un
modello matematico della realtà fisica. Nel Milleseicento, attraverso il
pensiero di Galilei e Newton, sembrò che un insieme di formule e di
equazioni potessero spiegare la dinamica di tutti i corpi, e, quindi,
dell’Universo intero. Solo nel Milleottocento fu possibile rappresentare
molti processi dinamici in termini di equazioni differenziali e integrali, così
l’uso di modelli matematici si rivelò un potente mezzo di indagine
scientifica, sempre più accurato in relazione all’evolversi delle tecnologie
elettroniche ed informatiche. I modelli matematici riguardano diverse
discipline, dalla Fisica e la Chimica alla Biologia e l’Ecologia; nella storia
recente, la Matematica ha inoltre trovato applicazione anche in settori
che coinvolgono decisioni da parte dell’Uomo, quali l’Economia e la
Finanza.
Distinzioni preliminari
DETERMINISTICI: PROCESSI
DI TIPO CAUSA - EFFETTO
MODELLI
STOCASTICI:
PROCESSI ALEATORI
MODELLI DETERMINISTICI: l’evoluzione del sistema è governata da
una legge esprimibile in termini analitici (variabili di input fisse);
pertanto, note le equazioni che regolano la dinamica delle variabili ed il
loro stato all’istante iniziale, si può determinare il loro stato ad ogni
istante futuro.
MODELLI STOCASTICI (stocastico = dovuto al caso, aleatorio, dal
greco stochastikòs = congetturale) tengono in considerazione le
variazioni (causali e non) delle variabili di input, e quindi forniscono
risultati in termini di "probabilità". È importante sottolineare che ciò che
differenzia i modelli deterministici da quelli stocastici è che in questi
ultimi si tiene conto della variabilità dei dati di input.
Fasi di studio di un fenomeno
RACCOLTA E ANALISI DEI DATI DELLO STATO DEL FENOMENO
COSTRUZIONE E STUDIO DEL
MODELLO MATEMATICO
VALIDAZIONE DEL MODELLO
Requisiti di un buon modello
SEMPLICITA’
In ogni grafico di quelli proposti il tasso di crescita
della variabile dipendente rispetto alla variabile
indipendente è costante.
Si giunge, dunque, alla determinazione di un modello
lineare, il cui grafico è quello di una funzione
esponenziale. Questo modello è noto come Modello
di Malthus o della “crescita geometrica”.
Si tratta, ora, di definire nei dettagli cosa è il tasso di crescita.
Sia P una popolazione isolata.
Indichiamo con:
N(t)
il numero di individui che compongono la popolazione all’istante di tempo
t;
N(t + t) il numero di individui che compongono la popolazione all’istante di
tempo (t + t), ossia quando è passato un intervallo di tempo t.
Ipotesi di lavoro:
N(t) è una funzione continua
La variazione di popolazione ΔN = N(t + Δt)-N(t) è proporzionale a N(t) e a Δt
secondo una costante di proporzionalità k che viene detta potenziale biologico o
tasso di crescita.
Il tasso di crescita k è tipico della specie e viene calcolato sperimentalmente.
ΔN N(t  Δt)  N(t)

 kN (t )
Δt
Δt
è la misura della variazione della popolazione nell’intervallo di tempo ∆t,
ovvero la “velocità media” di variazione della popolazione nell’intervallo di
tempo considerato, proporzionale alla popolazione al tempo t. Se si
suppone N(t) anche derivabile si può definire
Il tasso di crescita istantaneo della popolazione:
Dove
N
N (t )  lim
t 0 t
N (t )
k
N (t )
Vediamo ora se la legge ci dà informazioni sullo sviluppo della
popolazione
N = N(t) è una funzione di classe C1 del tempo t
:
N k
N =
dN 1 = k
dt N
ln N(t) = kt
N(0)
N(t) ekt
=
N(0)
t
0
t
# N1 dN = #kdt
0
6 @
t
lnN 0= kt
kt
N(t) = N(0) e
Naturalmente, per tracciare il grafico occorre conoscere N(0) e il
tasso di crescita k, che come abbiamo osservato sono dati
sperimentali.
Il modello di Malthus può rappresentare la crescita
biologica solo in un intervallo di tempo limitato.
Infatti, nel caso k>0 si osserva,
lim N (t )   
t 
conseguenza inaccettabile perché prevede la crescita esponenziale
della popolazione che dovrebbe essere accompagnata da una
crescita illimitata di cibo a disposizione.
Perfezioniamo…
Il modello di Verhulst elimina il paradosso del modello di Malthus, assumendo che il
tasso di crescita decresca al crescere della popolazione e sottraendo alla costante K
che rappresenta il tasso di crescita malthusiano una quantità hN(t) che cresce al
crescere della popolazione.
K  k  hN (t )
k  0, h  0
Ora, quanto più numerosa sarà la popolazione, tanto più piccolo sarà il tasso di crescita.
Il prodotto hN(t) rappresenta l’esistenza di vincoli esterni (influenza dell’ambiente,
interazione degli individui, …) che frenano la crescita della popolazione.
Otteniamo quindi:
:
N (t) k hN(t)
= N(t)
In essa, al crescere di N(t), il termine hN(t) diventa sempre più grande fino a che il tasso
di crescita k – hN(t) diventerà zero:
k - hN(t) = 0 & N(t) = k
h
Quindi, la crescita della popolazione non è più illimitata, ma non può superare il valore
limite dato da k/h, che rappresenta la capacità di accoglienza dell’ambiente e, come
le altre costanti, è determinata sperimentalmente.
Il modello di crescita logistica è descritto dall’equazione:
:
6
@
N (t) = k - hN(t) N(t)
dal grafico, la cosiddetta “curva a S”, si rileva che N(t) cresce a partire dal valore N(0) sempre
più rapidamente, poi rallenta la crescita e tende infine verso il valore della popolazione
limite k/h che non può superare.
La matematica delle popolazioni
a servizio del marketing
I modelli di diffusione di
prodotti e servizi
Alcuni problemi legati alla gestione
del successo (ciclo di vita di un
prodotto):




Quale può essere la massima diffusione di un prodotto o
di un servizio?
A che punto intervenire con campagne pubblicitarie a
supporto dell’offerta?
Come provvedere ad un suo eventuale “restyling”?
Come reagire all’ingresso di un eventuale concorrente
nella nicchia di mercato?
Ipotesi per l’utilizzo del Modello di
Malthus




mancanza di concorrenti, e quindi di possibili scelte da
parte del cliente;
bacino di utenza isolato, ossia la propensione all’acquisto
è indipendente da stimoli esterni, come ad esempio
l’andamento economico e la pubblicità;
comportamento omogeneo del cliente, in cui sono
trascurabili differenze strutturali quali età, sesso,
distribuzione geografica;
comportamento del cliente invariante nel tempo:il tasso
di acquisto e di abbandono di un prodotto può ritenersi
costante.
Il modello di Malthus, quindi, lega la variabile tasso di acquisto (il numero
medio di prodotti acquisiti per cliente) con il tasso di abbandono (numero
medio di prodotti abbandonati per cliente).
Il risultato è una crescita esponenziale della vendita del prodotto:
N(t)
t
Problema: il numero dei potenziali clienti è sempre
finito.
Soluzione: modello logistico


Indipendentemente dalla condizione iniziale di mercato, a regime, la
penetrazione del prodotto si stabilizzerà sul valore K. Ciò ha delle conseguenze,
in ambito marketing, immediate:
 il massimo dello sforzo pubblicitario deve essere fatto in fase di lancio e al
termine dell’andamento lineare, in modo da allontanare il più possibile
l’istante in cui il tasso di penetrazione si avvicini a K;
 la differenziazione dell’offerta può avvenire durante la fase di crescita
“lineare” della diffusione del prodotto;
 quando il gap tra K e la funzione logistica è minore di un valore stabilito a
priori dal marketing, il ciclo di vita del prodotto si può considerare
concluso.
Problema: il numero dei potenziali clienti è sempre
finito.
Soluzione: modello logistico
PREDAZIONE: MODELLO DI
LOTKA-VOLTERRA
L’origine del modello preda-predatore di
Lotka-Volterra fu ispirato dagli studi di alcuni zoologi
italiani che, dopo la prima guerra mondiale, avevano
rilevato che nell’alto Adriatico, quando le attività di
pesca erano diminuite, era aumentato il numero di
alcuni pesci predatori mentre era diminuito quello dei
pesci preda.
NELLA INTERAZIONE TRA SPECIE I COSTITUENTI UNA POPOLAZIONE
N2 - PREDATORI - SI NUTRONO MANGIANDO I COSTITUENTI DI UNA
POPOLAZIONE N1 - PREDE GLI ASSIOMI DEL MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA SONO:
1) in assenza di predatori, le prede che dispongono di cibo in quantità
illimitata (plancton) crescono con legge malthusiana:
:
N1= aN1
2) in presenza di predatori, il tasso di crescita delle prede diminuisce
di una quantità proporzionale al numero dei predatori:
:
N1
a bN2
N1 = -
:
&
N1= aN1- bN1N2
3) in assenza di prede, quindi senza cibo, i predatori si estinguono con
legge malthusiana:
:
N2= - cN2
4) in presenza di prede, il tasso di crescita dei predatori aumenta di
una quantità proporzionale al numero delle prede;
:
N2
c + dN1
N2 = -
:
&
N2= - cN2+ dN1N2
Dagli assiomi, si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali
che rappresenta IL MODELLO DI LOTKA - VOLTERRA:
:
*
N=
1
aN1- bN1N2
:
N2= - cN2+ dN1N2
Dall’analisi qualitativa del sistema si ottiene che: il numero di individui delle
due popolazioni oscilla “periodicamente”.
L’ANALISI QUALITATIVA DELLE TRAIETTORIE DEFINITE DAL
MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA CONSENTE DI AFFERMARE
CHE L’INCREMENTO NATURALE DELLE PREDE PORTA A
UN’ACCRESCIUTA ATTIVITÀ DI PREDAZIONE, DI
CONSEGUENZA IL NUMERO DEI PREDATORI CRESCE MENTRE
QUELLO DELLE PREDE DECRESCE. CIÒ ACCADE FINO A
QUANDO IL NUMERO DELLE PREDE DIVENTA TROPPO
PICCOLO PER LE ESIGENZE DEI PREDATORI CHE PERTANTO
COMINCIANO A ESTINGUERSI. QUANDO LA POPOLAZIONE
PREDATRICE DECRESCE, DIMINUISCE LA PRESSIONE SULLE
PREDE CHE COSÌ RICOMINCIANO A CRESCERE DI NUMERO E
IL CICLO RIPRENDE.
INTRODUCENDO NEI DATI DEL PROBLEMA LA PERTURBAZIONE
RAPPRESENTATA DALLA PESCA (PRELIEVO INDISCRIMINATO E
UNIFORME
DELL’UNA
E
DELL’ALTRA
SPECIE),
IL
MODELLO
DIVENTA:
:
*
N=
1
aN1- bN1N2- f N1
:
N2= - cN2+ dN1N2- f N2
DOVE ε ESPRIME L’UNIFORME INTENSITA’ DELLA PESCA. QUESTA
VARIAZIONE FRENA LA CRESCITA DI ENTRAMBE LE POPOLAZIONI
PROPORZIONALMENTE AL LORO NUMERO.
Ciò significa che l’essenza stessa delle
“leggi” della natura e, più in
generale, della realtà è racchiusa
in un’equazione matematica?
Alunni partecipanti:
Ascione Cristina
Avallone Claudio
Barbaro Eliana
HannoMaria
presentato:
Brunetti
Brigida
De Matteo Ilaria
Buccini Daniela Maria
Rossano
Lucia
Liceo
Scientifico
Celentano
Manuela
Stuvard Salvatore
CoppolaSilvestri”
Valentina
“Filippo
Presentazione realizzata
De Gaetano Davide
da:
Portici
De
Matteo
Ilaria
Cino
Fabrizia
Di Natale Concetta
Esposito Darjn
Papillo Lorenzo
Riccardi Carla
Rossano Lucia
Stuvard Salvatore
Zappia Sonia