Esempi di sistemi dinamici a tempo discreto

Esempi di sistemi dinamici a tempo discreto
Esempio 1: la dinamica dell'utile di un'azienda
Si voglia descrivere l'evoluzione temporale, mese per mese, del guadagno g di un'azienda che
vende un certo bene che essa produce in quantità q≥0. Se k indica il generico mese e si denota
con s≥0 la scorta all'inizio del mese, un semplice bilancio consente di scrivere
dove v≥0 rappresenta la quantità venduta nel mese. Si può assumere che quest'ultimo dipenda
dal prezzo p≥0 secondo la relazione
dove α e β sono due parametri non negativi che descrivono l'atteggiamento dei consumatori
rispetto al prezzo; le vendite cioè contengono una quota indipendente dal prezzo ed un'altra che
diminuisce all'aumentare del prezzo; a prezzo costante, le due quote in generale sono funzioni
del periodo considerato (si può pensare che α e β dipendono dalla congiuntura economica).
L'azienda, operando in regime di monopolio, può fissare ogni mese il prezzo del bene secondo le
proprie esigenze; essa lo innalzerà quanto più scarsa è la scorta, rispetto ad una quantità s°>0
oggetto di scelta, e quanto più riesce a vendere. Detti γ e δ due parametri positivi dipendenti dal
tempo, si avrà allora:
Se si trascura il costo di mantenimento della scorta, il guadagno mensile, differenza tra ricavi e
spese di produzione, è
dove anche il parametro ζ che rappresenta il costo unitario di produzione, è positivo. Se ora si
pone
,
,
,
,
eliminando v dalle equazioni prime quattro equazioni si ottiene
Il sistema ottenuto è MIMO (a tre ingressi e un'uscita), del secondo ordine, proprio, non lineare,
variante nel tempo. Se invece come variabile di uscita si prende il prezzo x2 la trasformazione
d'uscita diviene semplicemente
e il nuovo sistema risulta lineare (trascurando i vincoli sul segno delle variabili di ingresso e di
stato) e strettamente proprio; esso può essere descritto dalle matrici
,
,
Naturalmente i due sistemi sono invece stazionari se si suppone che β, γ, δ e, per quanto
riguarda il primo, ζ siano indipendenti da k.
Esempio 2: il modello preda-predatore
Per studiare l'evoluzione del numero di prede x1≥0 e di predatori x2≥0 che convivono in uno
stesso ecosistema al variare delle prede immesse u≥0 si può fare riferimento ad un modello
proposto da Lotka e Volterra negli anni Venti. Denotando con k il periodo temporale di
riferimento, una versione a tempo discreto di tale modello si può scrivere come
dove tutti i parametri sono positivi. La prima equazione afferma che, in assenza di predatori (x2
(k)=0), il numero di prede al tempo k+1 è pari a quello nel periodo precedente aumentato della
quantità di prede immesse e di una quantità dipendente in modo non lineare dal numero delle
prede presenti. Quest'ultimo tiene conto della natalità attraverso il termine αx1(k) ed anche
della limitazione delle risorse nutritive a disposizione tramite il termine αβ(x1(k))2. Inoltre la
presenza dei predatori (x2(k)>0) fa sì che le prede diminuiscano in maniera proporzionale sia al
numero di predatori stessi che a quello di prede. La seconda equazione descrive invece
l'evoluzione del numero di predatori. In assenza di prede (x1(k)=0) i predatori tendono
naturalmente a diminuire per mancanza di nutrimento, mentre alla presenza di prede (x1(k)>0)
corrisponde un contributo che tende a far aumentare i predatori, perchè questi hanno a
disposizione più sostanze nutritive. Assumendo che la variabile di interesse sia costituita dal
numero di predatori, si porrà
ottenendo così un sistema SISO, del secondo ordine, strettamente proprio, non lineare e
stazionario.
Gli stati di equilibrio del modello preda-predatore per u(k)=u=0 sono dati da
cioè
Esempio 3: un semplice modello di flusso migratorio
Per questo semplice modello si utilizzano due soli segmenti, quello rurale e quello urbano. Si
considera che il fattore di crescita annuale per entrambi i segmenti sia pari ad α, ma la
popolazione cambia a causa della migrazione. Si assume che esista una frazione della
popolazione totale che rappresenta la popolazione rurale ideale; il tasso di migrazione è
proporzionale all'eccesso di popolazione rurale rispetto a tale valore ottimo. Consideriamo:
z
z
z
z
r(k) la popolazione rurale;
u(k) la popolazione urbana;
γ[r(k)+u(k)] la frazione della popolazione totale che rappresenta la consistenza ideale
della popolazione rurale;
[r(k)-γ[r(k)+u(k)]] eccesso di popolazione rurale.
Con questi dati è possibile ottenere il seguente modello di migrazione:
I parametri presenti nel sistema hanno le seguenti caratteristiche:
z
z
z
α>1
0<β<α
γ esprime la frazione ideale di addendi ai lavori rurali e dipende dalla produttività del
settore.
Tutti e tre questi parametri possono variare nel tempo.
Come è possibile capire si tratta di un modello lineare stazionario a tempo discreto, autonomo,
di dimensione due con vettore di stato:
e matrice della dinamica:
Per scaricare la pagina in formato Adobe Acrobat cliccare sull'icona seguente: